Question

100 баллов! Срочно! Исследовать на сходимость ряды 1) Сума от 1 до бесконечности 1/(n^2 +2n +3)2) Сума от 1 до бесконечности sin(pi/2^n)3) Сума от 1 до бесконечности 1/(2n+1)!

Answer 1

Ответ: 1) сходится 2) сходится 3) сходится

Пошаговое объяснение:

1) Известно, что ряд сумма $\frac{1}{n^{\alpha }}$ сходится при α > 1

В частности сходится и ряд суммы $\frac{1}{n^{2}}$

Т.к. $n^{2}+2n+3>n^{2}$

то $\frac{1}{n^{2}+2n+3}$

По признаку сравнения для положительных числовых рядов из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими членами.

2) Аргумент синуса убывает от $\frac{\pi }{2}$ для 0

Следовательно рассматриваемый ряд положителен и для синуса можем записать

sinx < x

Исследуем на сходимость ряд сумм $\frac{\pi }{2^{n}}$

Найдем для него отношение последующего члена к предыдущему

$D=\frac{\frac{\pi}{2^{n+1}}}{\frac{\pi}{2^{n}}}=\frac{1}{2}$

По признаку Даламбера ряд сумм $\frac{\pi }{2^{n}}$ сходится.

По признаку сравнения для положительных числовых рядов из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими членами, т.е сходится и ряд сумм $sin(\frac{\pi}{2^{n}})$

3. Найдем отношение последующего члена к предыдущему

$D=\frac{\frac{1}{(2n+3)!}}{\frac{1}{(2n+1)!}}=\frac{1}{(2n+2)(2n+3)}$

При n стремящемся к бесконечности D стремится к нулю, а следовательно, по признаку Даламбера ряд сходится.

Answer 2

Для исследования сходимости данных рядов, будем использовать различные тесты на сходимость, такие как тест сравнения, интегральный признак и признак Даламбера.

1. Ряд 1/(n^2 + 2n + 3): Для этого ряда будем использовать признак сравнения с положительным рядом 1/n^2. Для этого нужно установить, что 0 < 1/(n^2 + 2n + 3) < 1/n^2 для всех n > N, где N - некоторое фиксированное натуральное число.

Для начала, заметим, что: n^2 + 2n + 3 > n^2 + 2n = n(n + 2).

Таким образом, мы можем записать: 0 < 1/(n^2 + 2n + 3) < 1/(n(n + 2)).

Теперь рассмотрим ряд ∑(1/n(n + 2)). Для проверки его сходимости, воспользуемся признаком сходимости положительных рядов, сравнив его с рядом Гармонического ряда: ∑(1/n).

Для n > 1: 1/n(n + 2) < 1/n^2.

Таким образом, ∑(1/n(n + 2)) сходится, и, согласно признаку сравнения, ряд 1/(n^2 + 2n + 3) также сходится.

2. Ряд sin(π/2^n): Для исследования сходимости этого ряда воспользуемся признаком Даламбера. Пусть дан ряд ∑(sin(π/2^n)). Тогда вычислим предел отношения соседних членов:

L = lim(n → ∞) |sin(π/2^(n+1)) / sin(π/2^n)|.

Вычислим этот предел:

L = lim(n → ∞) |sin(π/2^(n+1)) / sin(π/2^n)| = lim(n → ∞) |sin(π/2^(n+1))| / |sin(π/2^n)| = lim(n → ∞) |(1/2) * sin(π/2^n)| / |sin(π/2^n)|.

Заметим, что sin(π/2^n) ≠ 0 для всех натуральных n. Таким образом, мы можем сократить sin(π/2^n) в числителе и знаменателе:

L = lim(n → ∞) |1/2| = 1/2.

Теперь, если L < 1, то ряд ∑(sin(π/2^n)) сходится абсолютно. В данном случае, L = 1/2 < 1, следовательно, ряд сходится.

3. Ряд 1/(2n+1)! Для анализа сходимости этого ряда воспользуемся признаком сравнения с рядом ∑(1/n!). Для n > 0 выполняется неравенство:

1/(2n+1)! ≤ 1/n!

Так как ряд ∑(1/n!) сходится (это ряд Маклорена для экспоненты), то и ряд ∑(1/(2n+1)!) также сходится.

Итак, получаем результаты:

1. Ряд 1/(n^2 + 2n + 3) сходится.
2. Ряд sin(π/2^n) сходится.
3. Ряд 1/(2n+1)! сходится.