Question

По кругу записано n целых чисел, сумма которых равна 14. Известно, что любое из записанных чисел равно модулю разности двух чисел, следующих за ним. Найдите все возможные значения n

Answer 1

Ответ: n=3 или n=21 . 
Из условия следует, что все записанные числа неотрицательны. Пусть a — наибольшее из этих чисел (если таких несколько, то выберем любое из них); b, c, d и e — числа, следующие за ним по кругу. По условию a=|b-c|, что возможно, только если одно из чисел b или c равно a, а другое равно нулю. Если b=a, c=0, то d=e=a и так далее. Если же b=0, c=a, то d=a, e=0 и так далее. Таким образом, записанные числа таковы: a, a, 0, a, a, 0,...,a, a, 0. Их сумма равна 2ma, где m — количество нулей. Из равенства 2ma=14 следует, что ma=7, то есть либо m=7, a=1, либо m=1, a=7 . Следовательно, n=21 или n=3 .

Answer 2

Давайте рассмотрим ситуацию более подробно. Пусть у нас есть n целых чисел, записанных по кругу, и их сумма равна 14. Пусть a_1, a_2, ..., a_n - это эти числа в порядке их следования.

Условие гласит, что любое число равно модулю разности двух чисел, следующих за ним. Формально, для любого i от 1 до n выполняется:

|a_i| = |a_(i+1) - a_(i+2)|

Также у нас есть условие на сумму всех чисел:

a_1 + a_2 + ... + a_n = 14

Давайте рассмотрим несколько случаев:

1. Если n = 1: Единственное число равно 14 (по условию суммы), и это число должно удовлетворять условию разности модулей, что не выполнимо.

2. Если n = 2: Допустим, у нас есть два числа a_1 и a_2. Согласно условию, |a_1| = |a_2 - a_1|. Это означает, что либо a_2 = 2 * a_1, либо a_2 = 0. Но в обоих случаях сумма не может быть равной 14. Таким образом, для n = 2 решений нет.

3. Если n = 3: Допустим, у нас есть три числа a_1, a_2 и a_3. Тогда условия дают нам следующие соотношения: |a_1| = |a_2 - a_3| |a_2| = |a_3 - a_1| |a_3| = |a_1 - a_2|

   Из этих уравнений видно, что все числа либо равны между собой, либо одно из них равно 0. Если все числа равны, то их сумма составит 0, что не удовлетворяет условию суммы. Если одно из чисел равно 0, то остается два уравнения с двумя неизвестными, что не приводит к решению. Таким образом, для n = 3 решений также нет.

4. Если n > 3: При n > 3 будет слишком много уравнений и переменных, чтобы можно было однозначно найти решение. Тем не менее, можно заметить, что при больших n количество ограничений увеличивается, и становится сложнее найти подходящие числа.

Итак, из анализа видно, что нет таких n, при которых можно было бы удовлетворить всем условиям задачи.