Question

По кругу записано n целых чисел, сумма которых равна 94. Известно, что любое число равно модулю разности двух следующих за ним чисел. Найдите все возможные значения n.

Answer 1

Таких значений n не существует

Answer 2

Давайте обозначим числа в круге как a1, a2, ..., an. Тогда сумма этих чисел равна 94, то есть a1 + a2 + ... + an = 94.

Также известно, что любое число равно модулю разности двух следующих за ним чисел. Это означает, что для любого i от 1 до n-1, выполняется условие: ai = |ai+1 - ai+2|.

Теперь давайте рассмотрим возможные значения n. Если n = 2, то у нас есть два числа a1 и a2, и мы должны иметь a1 = |a2 - a1|. Это означает, что a1 = a2 - a1, или a1 = a2/2. Таким образом, если n = 2, то a1 должно быть половиной a2. Однако, сумма двух чисел, равная 94, не может быть получена, если одно из чисел в два раза больше другого, поэтому n не может быть равно 2.

Теперь рассмотрим случай, когда n = 3. У нас есть три числа a1, a2 и a3, и мы должны иметь a1 = |a2 - a3|, a2 = |a3 - a1| и a3 = |a1 - a2|. Это означает, что мы должны иметь a1 = |a2 - a3|, a2 = |a1 - a2| и a3 = |a2 - a1|. Решая эти уравнения, мы получаем a1 = a3, a2 = a1/2 и a3 = a1/2. Таким образом, если n = 3, то a1 = a3, a2 = a1/2 и a3 = a1/2. Подставляя это в уравнение суммы, мы получаем 3a1 = 94, или a1 = 31. Таким образом, для n = 3, мы можем иметь a1 = 31, a2 = 15 и a3 = 15.

Таким образом, единственное возможное значение n, удовлетворяющее условиям задачи, равно 3.