Question

На фестиваль "Хоббиты - за культурное разнообразие!" прибыло более 20 участников. Корреспондент обнаружил, что среди любых 15 участников фестиваля найдётся не менее 4 людей и не менее 5 эльфов. Сколько хоббитов приняло участие в фестивале? Укажите все возможные ответы и докажите, что других нет.

Answer 1

Если среди любых 15 участников не менее 4 людей и не менее 5 эльфов, то "не людей" на фестивале не более 15 - 4 = 11, а "не эльфов" не больше 15 - 5 = 10.

Пусть не людей и не эльфов x (в это число входят и хоббиты), тогда эльфов 11 - x, людей 10 - x, а всего участников (11 - x) + (10 - x) + x = 21 - x ≤ 21.

По условию участников не меньше 21, с учётом полученного неравенства их ровно 21, так получится, только если x = 0.

Ответ. На фестивале нет ни одного хоббита.

Answer 2

Пусть H, E и D обозначают количество хоббитов, эльфов и других участников (например, гномов или людей). Тогда у нас есть следующая информация:

H + E + D > 20, так как на фестивале более 20 участников.

Также, среди любых 15 участников есть не менее 4 людей и не менее 5 эльфов:

H + E >= 4 (в любых 15 участниках не менее 4 людей) E + D >= 5 (в любых 15 участниках не менее 5 эльфов)

Сложим два последних неравенства:

H + 2E + D >= 9

Теперь у нас есть система неравенств:

H + E + D > 20 H + 2E + D >= 9

Из первого неравенства получаем, что H + E > 20 - D.

Подставим это значение во второе неравенство:

20 - D + D >= 9 20 >= 9

Это верно, поэтому все условия выполнены.

Следовательно, у нас есть бесконечно много ответов, так как могут быть различные комбинации чисел H, E и D, удовлетворяющие этим неравенствам. Например:

H = 15, E = 5, D = 1 H = 14, E = 5, D = 2 H = 13, E = 5, D = 3 ...

Таким образом, есть бесконечно много возможных ответов на эту задачу.