Question

Числа a, b, c и d таковы, что a+b = c+d 6= 0, ac = bd. Докажите, что a + c = b + d.

Answer 1

Решение смотри на фото

Answer 2

Давайте рассмотрим данное уравнение и попробуем доказать, что a + c = b + d.

Исходно дано:

1. a + b = c + d
2. ac = bd

Нам нужно доказать, что: a + c = b + d

Рассмотрим выражение (a + b)(c + d). По свойству распределения: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

С учетом исходных данных (1) и (2), мы можем выразить ac и bd: ac = bd

Теперь мы можем записать выражение (a + b)(c + d) как: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + ac

Заметим, что ac + ac = 2ac и согласно (2) это равно bd + bd = 2bd.

Теперь вернемся к уравнению (1): a + b = c + d

Умножим обе стороны на (c + d): (a + b)(c + d) = (c + d)(c + d)

Раскроем скобки: ac + ad + bc + bd = c^2 + cd + cd + d^2

Заметим, что ac + ac = 2ac, bd + bd = 2bd и c^2 + d^2 = (c + d)^2:

2ac + 2bd = (c + d)^2

Теперь делим обе стороны на 2 (при условии, что 6 ≠ 0): ac + bd = (c + d)^2 / 2

Из условия (2) мы знаем, что ac = bd:

bd + bd = (c + d)^2 / 2

2bd = (c + d)^2 / 2

Умножаем обе стороны на 2: 4bd = (c + d)^2

Теперь извлекаем квадратный корень: 2√bd = c + d

Теперь вернемся к уравнению (1): a + b = c + d

Выразим c + d: c + d = a + b

Теперь подставим выражение для c + d, которое мы получили выше: c + d = 2√bd

Таким образом, мы доказали, что a + c = b + d, потому что: a + c = a + b = c + d = 2√bd = b + d

Итак, доказано, что если a + b = c + d и ac = bd, то a + c = b + d.