Question

Назовем число, состоящее из одинаковых цифр, красивым. Любое ли пятизначное число можно представить в виде суммы красивых чисел попарно разной длины

Answer 1

Нет, не любое.
Например, нельзя представить 11107 в виде суммы красивых чисел попарно разной длины.
Дествительно, попробуем представить это число в виде суммы красивых чисел попарно разной длины. Наибольшее красивое число, которое можно представить в виде суммы красивых чисел с количеством цифр не превышающим 4 попарно разной длины - это
9999 + 999 + 99 + 9 = 11106.
Наименьшее положительное красивое пятизначное число - 11111
Если бы и существовало разложение числа 11107 на сумму красивых чисел попарно разной длины, то в этом разложении не было бы пятизначного числа (11111 > 11107)
В то же время, сумма любых красивых чисел попарно различной длины, длина которых не больше, чем 4, меньше 11107.
Значит 11107 нельзя представить в виде суммы красивых чисел попарно различной длины.

Answer 2

Да, любое пятизначное число можно представить в виде суммы красивых чисел попарно разной длины. Для доказательства этого утверждения можно воспользоваться следующим методом:

Предположим, у нас есть пятизначное число, например, 23456. Мы можем разбить это число на сумму нескольких красивых чисел следующим образом:

1. 20000 (красивое пятизначное число)
2. 3000 (красивое четырёхзначное число)
3. 400 (красивое трёхзначное число)
4. 50 (красивое двузначное число)
5. 6 (красивое однозначное число)

Суммируя все эти числа, получим исходное 23456.

Таким образом, любое пятизначное число можно представить в виде суммы красивых чисел попарно разной длины.