Question

Найти производную функции arctg sqrt( 1-2x/1+3)

Answer 1

Воттт
калькулятор не вретт

Answer 2

Давайте найдем производную функции $f(x) = \arctan\left(\sqrt{\frac{1 - 2x}{1 + 3}}\right)$ по переменной $x$. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции.

Пусть $u = \sqrt{\frac{1 - 2x}{1 + 3}}$, а $v = \arctan(u)$. Тогда по правилу цепочки (chain rule) производная функции $f(x)$ равна произведению производных $u$ и $v$:

$$f'(x) = \frac{dv}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$

Давайте найдем производные по очереди:

1. Найдем $\frac{dv}{du}$. Производная арктангенса $\arctan(u)$ равна $\frac{1}{1 + u^2}$:

$$\frac{dv}{du} = \frac{1}{1 + u^2}$$

2. Теперь найдем $\frac{du}{dx}$. Для этого нам понадобится правило дифференцирования для функции вида $\sqrt{u(x)}$, где $u(x)$ - некоторая функция от $x$. Это правило выглядит следующим образом:

$$\frac{d}{dx} \left( \sqrt{u(x)} \right) = \frac{1}{2 \sqrt{u(x)}} \cdot \frac{du}{dx}$$

В нашем случае $u(x) = \frac{1 - 2x}{1 + 3}$, поэтому:

$$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2 \sqrt{\frac{1 - 2x}{1 + 3}}} \cdot \left( -\frac{2}{1 + 3} \right) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - 2x}{1 + 3}}}$$

Теперь мы можем подставить найденные значения в выражение для $f'(x)$:

$$f'(x) = \frac{1}{1 + u^2} \cdot \left( -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - 2x}{1 + 3}}} \right) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(1 + u^2) \sqrt{\frac{1 - 2x}{1 + 3}}}$$

В итоге, производная функции $f(x)$ равна:

$$f'(x) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(1 + \left(\sqrt{\frac{1 - 2x}{1 + 3}}\right)^2) \sqrt{\frac{1 - 2x}{1 + 3}}}$$ 0 0