Question

Сколько вершин может иметь выпуклый многоугольник, если известно, что число его диагоналей делится на число его вершин?

Answer 1

Пусть число сторон или вершин выпуклого многоугольника равно n>3,
Тогда число диагоналей в нем равно n(n-3)/2, потому из делимости чтсла диагоналей на чтсло вершин следует, что n-3 четное или равно 2k. В общем, n=2k+3, например, 5, 7, 9 и так далее все нечетные числа, большие, чем 4.

Answer 2

Для решения данной задачи, давайте разберемся в том, сколько диагоналей имеет выпуклый многоугольник.

Диагональю в выпуклом многоугольнике называется отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника. Для многоугольника с n вершинами, количество диагоналей обозначается как D(n) и определяется по формуле:

D(n) = n(n-3)/2

Теперь давайте решим задачу.

Для того чтобы число диагоналей многоугольника D(n) делось на число вершин n, необходимо, чтобы D(n) было кратно n:

D(n) % n = 0

Теперь подставим формулу для D(n):

(n(n-3)/2) % n = 0

Для удобства, умножим обе части уравнения на 2:

n(n-3) % 2n = 0

Теперь давайте рассмотрим несколько случаев:

1. n = 2: Подставим n = 2 в уравнение: 2(2-3) % 2*2 = -2 % 4 = -2 В этом случае выпуклый многоугольник представляет собой отрезок, что не имеет смысла для данной задачи.

2. n = 3: Подставим n = 3 в уравнение: 3(3-3) % 2*3 = 0 % 6 = 0 В этом случае выпуклый многоугольник представляет собой треугольник, и условие выполняется.

3. n = 4: Подставим n = 4 в уравнение: 4(4-3) % 2*4 = 4 % 8 = 4 В этом случае выпуклый многоугольник представляет собой четырехугольник, и условие не выполняется.

4. n = 5: Подставим n = 5 в уравнение: 5(5-3) % 2*5 = 10 % 10 = 0 В этом случае выпуклый многоугольник представляет собой пятиугольник, и условие выполняется.

Из приведенных выше случаев видно, что выпуклый многоугольник, удовлетворяющий условию, может иметь только 3 или 5 вершин.