Question

Срочна помогите дам 99 баллов!+ Отмечу лучшим! Найти производную: 1)y=arctg(tg²x) 2)y=ln² cos³ (4x-1) 3)y=xe^x (cosx+sinx)

Answer 1

1) 
$\displaystyle y=arctg(tg^2x)\\\\y`= \frac{1}{1+tg^4x}* \frac{2tgx}{cos^2x}$

2) 
$\displaystyle y=ln^2(cos^3(4x-1))\\\\y`= \frac{2ln(cos^3(4x-1))}{cos^3(4x-1)}*3cos^2(4x-1)*(-sin(4x-1))*4=\\\\=- \frac{24*ln(cos^3(4x-1))*cos^2(4x-1)*sin(4x-1)}{cos^3(4x-1)}=\\\\=- \frac{24(ln(cos^3(4x-1))*sin(4x-1)}{cos(4x-1)}=\\\\=-24ln(cos^3(4x-1))*tg(4x-1)$

3) 
$\displaystyle y=x*e^x(cosx+sinx)\\\\y`=e^x(cosx+sinx)+x*e^x(cosx+sinx)+x*e^x(-sinx+cosx)=\\\\=e^x(x*(cosx+sinx-sinx+cosx)+cosx+sinx)=\\\\=e^x(2x*cosx+cosx+sinx)$

Answer 2

Конечно, я помогу вам найти производные данных функций. Давайте по очереди рассмотрим каждую из них.

1. $y = \arctan(\tan^2 x)$:

Для начала воспользуемся тождеством для арктангенса: $\arctan(\tan u) = u$, при условии, что $-\frac{\pi}{2} < u < \frac{\pi}{2}$.

Таким образом, можно заметить, что $\tan^2 x$ будет варьироваться между 0 и положительным бесконечно большим значением, включая весь интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Следовательно, условие для применения тождества арктангенса не выполнится для всего диапазона значений $\tan^2 x$.

В этом случае, мы можем воспользоваться производной композиции функций. Первая функция - это $\arctan(u)$, а вторая - $u = \tan^2 x$. Применим правило дифференцирования сложной функции:

$\frac{dy}{dx} = \frac{d(\arctan(u))}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

где $\frac{d(\arctan(u))}{du} = \frac{1}{1+u^2}$ и $\frac{du}{dx} = 2 \tan x \sec^2 x$.

Итак, производная будет:

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+\tan^4 x} \cdot 2 \tan x \sec^2 x$

2. $y = \ln^2(\cos^3(4x-1))$:

Применяем правило дифференцирования сложной функции:

$\frac{dy}{dx} = \frac{d(\ln^2(u))}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

где $u = \cos^3(4x-1)$.

$\frac{d(\ln^2(u))}{du} = 2 \ln(u) \cdot \frac{1}{u}$ и $\frac{du}{dx} = -12 \sin(4x-1) \cos^2(4x-1)$.

Итак, производная будет:

$\frac{dy}{dx} = 2 \ln(\cos^3(4x-1)) \cdot \frac{-12 \sin(4x-1) \cos^2(4x-1)}{\cos^3(4x-1)}$

3. $y = x e^x (\cos x + \sin x)$:

Используем производное правило произведения функций:

$\frac{dy}{dx} = \frac{d(xe^x)}{dx} (\cos x + \sin x) + x e^x \frac{d(\cos x + \sin x)}{dx}$

$\frac{dy}{dx} = (e^x + xe^x) (\cos x + \sin x) + x e^x (-\sin x + \cos x)$