Question

Найти частное решение дифференциального уравнения y"+y'-6y=0 если у=3 у'=1 при х=0

Answer 1

$y''+y'-6y=0$
$y=e^{kx}$
$(e^{kx})''+(e^{kx})'-6e^{kx}=0$
$k^2e^{kx}+ke^{kx}-6e^{kx}=0$
$e^{kx}(k^2+k-6)=0$
$k^2+k-6=0$
$(k-2)(k+3)=0$
$k_1=2; y_1=e^{2x}$
$k_2=-3; y_2=e^{-3x}$
$Y=C_1e^{2x}+C_2e^{-3x}$

$\left \{ {{C_1+C_2=3} \atop {2C_1-3C_2=1}} \right.$
$\left \{ {{C_1=3-C_2} \atop {2C_1-3C_2=1}} \right.$
$\left \{ {{C_1=3-C_2} \atop {2(3-C_2)-3C_2=1}} \right.$
$\left \{ {{C_1=3-C_2} \atop {6-2C_2-3C_2=1}} \right.$
$\left \{ {{C_1=3-C_2} \atop {-5C_2=-5}} \right.$
$\left \{ {{C_1=3-C_2} \atop {C_2=1}} \right.$
$\left \{ {{C_1=2} \atop {C_2=1}} \right.$

$Y=2e^{2x}+e^{-3x}$

Answer 2

Для нахождения частного решения данного дифференциального уравнения, учитывая начальные условия, мы можем использовать метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).

Данное уравнение имеет вид: y'' + y' - 6y = 0

Предположим, что частное решение имеет вид y = Ae^(rx), где A и r - это константы, которые нужно найти.

Подставим это предположение в исходное уравнение: y'' = Ar^2e^(rx) y' = Are^(rx)

Подставим полученные значения в уравнение: Ar^2e^(rx) + Are^(rx) - 6Ae^(rx) = 0

Теперь делим все на Ae^(rx): r^2 + r - 6 = 0

Теперь решим квадратное уравнение: r = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a где a = 1, b = 1 и c = -6.

r = (-1 ± √(1^2 - 41(-6))) / 2 r = (-1 ± √(1 + 24)) / 2 r = (-1 ± √25) / 2 r = (-1 ± 5) / 2

Итак, получаем два значения r: r1 = (5 - 1) / 2 = 2 r2 = (-5 - 1) / 2 = -3

Теперь у нас есть два различных корня r. Значит, частное решение будет представляться суммой двух слагаемых:

y1 = Ae^(2x) и y2 = Be^(-3x)

Теперь используем начальные условия, чтобы найти значения A и B.

Когда x = 0, у = 3 и у' = 1:

y(0) = A = 3 y'(0) = 2A - 3B = 1

Подставим значение A = 3 в уравнение для y'(0):

2 * 3 - 3B = 1 6 - 3B = 1 -3B = 1 - 6 -3B = -5 B = -5 / -3 B = 5 / 3

Таким образом, получаем значения A = 3 и B = 5/3.

Итак, частное решение дифференциального уравнения y'' + y' - 6y = 0 с начальными условиями у = 3 и у' = 1 при х = 0:

y = 3e^(2x) + (5/3)e^(-3x)