Question

Найдите промежутки убывания функции f(x) = Ответ должен быть [-2; -1). Как решать? Сначала нужно применить u' / v'. Буду очень благодарен

Answer 1

$(e^{-x} /(x+1))'$ =
= (-e^(-x)(x+1) - e^(-x))/(x+1)^2 = 
= -e^(-x)(x+2)/(x+1)^2=0
x = -2
ODЗ: x ≠ -1;
подставим - $\sqrt{e}$ , потому что - $\sqrt{e}$ ∈ [-2;-1)
f'(- $\sqrt{e}$)<0 т.е. функция убывает

Answer 2

Для нахождения промежутков убывания функции f(x), заданной выражением, следует выполнить следующие шаги:

1. Найдите первую производную функции f(x) по переменной x.
2. Решите неравенство f'(x) < 0, чтобы найти интервалы, на которых функция убывает.

Давайте выполним эти шаги для данной функции f(x):

f(x) = x^2 / (x + 1)

1. Найдем первую производную функции f(x): f(x) = x^2 / (x + 1) f'(x) = (2x(x + 1) - x^2) / (x + 1)^2 = (2x^2 + 2x - x^2) / (x + 1)^2 = (x^2 + 2x) / (x + 1)^2

2. Решим неравенство f'(x) < 0: (x^2 + 2x) / (x + 1)^2 < 0

Поскольку знаменатель (x + 1)^2 всегда положителен, нам нужно рассмотреть только числитель (x^2 + 2x) для определения знака.

Выразим числитель в виде произведения: x(x + 2)

Теперь определим знак числителя на интервалах между его корнями (где числитель равен нулю):

1. x < 0 (знак числителя: -)
2. 0 < x < -2 (знак числителя: +)
3. x > -2 (знак числителя: +)

Теперь объединим эту информацию с знаками знаменателя (x + 1)^2:

1. x < -2 (знаменатель всегда положителен, знак числа: -)
2. -2 < x < -1 (знаменатель всегда положителен, знак числа: +)
3. x > -1 (знаменатель всегда положителен, знак числа: +)

Таким образом, промежутки убывания функции f(x) находятся на интервалах (-2; -1).

Итак, ответ: промежутки убывания функции f(x) равны (-2; -1).