Question

Докажите что при любом значении n значение выражения (n+9)в квадрате-(n-7)в квадрате делится на 32

Answer 1

(n+9)²-(n-7)²=n²+18n+81-n²+14n-49=32n+32=32(n+1)
один сомножитель делится на 32, значит все произведение тоже делится на 32

Answer 2

Для доказательства того, что выражение (n + 9)² - (n - 7)² делится на 32 для любого значения n, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Шаг 1: Проверка базового случая. Для n = 1: (1 + 9)² - (1 - 7)² = 10² - (-6)² = 100 - 36 = 64, что делится на 32 без остатка (64 = 32 * 2).

Шаг 2: Предположение индукции. Предположим, что для некоторого целого числа k значение выражения (k + 9)² - (k - 7)² делится на 32.

Шаг 3: Доказательство для (k + 1). Теперь рассмотрим случай n = k + 1: [(k + 1) + 9]² - [(k + 1) - 7]² = (k + 10)² - (k - 6)² = (k² + 20k + 100) - (k² - 12k + 36) [Раскрываем квадраты] = k² + 20k + 100 - k² + 12k - 36 [Раскрываем скобки] = 32k + 64 [Упрощаем]

Как видно, в полученном выражении есть множитель 32, что означает, что оно делится на 32 без остатка.

Шаг 4: Заключение. Мы доказали, что если выражение (n + 9)² - (n - 7)² делится на 32 для некоторого целого числа k, то оно также будет делиться на 32 для числа k + 1. Поскольку базовый случай выполняется, и мы можем применить предположение индукции для всех целых значений n, можно заключить, что выражение (n + 9)² - (n - 7)² делится на 32 для любого значения n.