Question

Здравствуйте! Очень нужна помощь. Задание: исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва, определить их тип и приложить чертеж. Все под одной фигурной скобкой(система). x, x<0 f(x){ sin(x), 0≤x≤ П/2 cos(x), x>П/2 Спасибо!

Answer 1

График к задаче на рисунке в приложении.
Как и ожидалось разрыв при Х =π/2

Answer 2

Здравствуйте! Конечно, помогу вам исследовать функцию на непрерывность и наличие точек разрыва.

Данная функция определена в трех частях:

1. Для x < 0: f(x) = sin(x)
2. Для 0 ≤ x ≤ π/2: f(x) = cos(x)
3. Для x > π/2: f(x) = не определено (так как функция не определена за пределами заданного интервала)

Для начала исследуем непрерывность функции внутри каждого из интервалов.

1. Для x < 0: На данном интервале f(x) = sin(x), и синус является непрерывной функцией для всех x. Таким образом, функция f(x) непрерывна на интервале x < 0.

2. Для 0 ≤ x ≤ π/2: На этом интервале f(x) = cos(x), и косинус также является непрерывной функцией для всех x. Следовательно, функция f(x) непрерывна на интервале 0 ≤ x ≤ π/2.

Теперь определим точки разрыва функции:

1. В точке x = 0: Значение функции слева и справа от x = 0 равны: f(0-) = sin(0) = 0 f(0+) = cos(0) = 1

Так как f(0-) ≠ f(0+), то в точке x = 0 у функции есть разрыв. В данном случае разрыв первого рода, так как пределы слева и справа существуют.

2. В точке x = π/2: Значение функции слева и справа от x = π/2 равны: f(π/2-) = cos(π/2) = 0 f(π/2+) - функция не определена, так как x > π/2

Так как f(π/2-) ≠ f(π/2+), то в точке x = π/2 у функции есть разрыв. В данном случае разрыв второго рода, так как предел справа не существует.

Построим график функции на заданном интервале x < 0 ∪ 0 ≤ x ≤ π/2:

javascriptCopy code
    |
    |    + 
    |   /|
    |  / |
----+--/--+----
   /| /   |
  / |/    |

На графике видно, что функция непрерывна на обоих интервалах, но есть разрывы в точках x = 0 и x = π/2.

Пожалуйста, обратите внимание, что функция не определена для x > π/2, поэтому график функции остается непрерывным только на заданном интервале x < 0 ∪ 0 ≤ x ≤ π/2.

Если у вас возникнут еще вопросы или нужна дополнительная помощь, не стесняйтесь спрашивать!