Question

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=x² x+y=6 y=0

Answer 1

Y=x/y+y/x
y=tx; y’= t’x+t;
t’x+t=1/t+t => t’x=1/t => tdt=dx/x
∫tdt=∫dx/x => t²/2=ln|x|+C => t²=lnx²+C
y²/x²=ln(Cx²) => y²=x²• ln(Cx²) => y=±x√(ln(Cx²))

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x², x + y = 6 и y = 0, следует выполнить следующие шаги:

1. Найдите точки пересечения линий.
2. Определите область, ограниченную этими точками и кривыми.
3. Вычислите площадь этой области.

Шаг 1: Найдем точки пересечения.

Сначала найдем точки пересечения кривых y = x² и x + y = 6:

Подставим выражение для y из первого уравнения во второе: x + x² = 6

Приведем уравнение к виду квадратного уравнения: x² + x - 6 = 0

Решим квадратное уравнение с помощью факторизации: (x + 3)(x - 2) = 0

Таким образом, x = -3 или x = 2.

Теперь найдем точку пересечения кривых y = x² и y = 0:

Подставим y = 0 в уравнение y = x²: 0 = x²

Таким образом, x = 0.

Шаг 2: Определите область.

Теперь определим границы интегрирования для нахождения площади области. Заметим, что y = 0 образует ось x, а y = x² — параболу, которая симметрична относительно оси y. Поэтому границы интегрирования для x будут от -3 до 2.

Шаг 3: Вычислите площадь.

Площадь фигуры может быть найдена с помощью определенного интеграла:

Площадь = ∫[от -3 до 2] (x² - 0) dx

Посчитаем интеграл: Площадь = [x³/3] [от -3 до 2]

Площадь = (2³/3) - (-3³/3) Площадь = (8/3) + (27/3) Площадь = 35/3 или около 11.67 (вещественное число).

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x², x + y = 6 и y = 0, равна примерно 11.67 квадратных единиц.