Question

f(x)=2x^3 +9x^2 - 24x+1 на промежутке [0;3] точки максимума и минимума функции, промежутки возрастания и убывания функции, наибольшее и наименьшее значение этой функции на промежутке [0;3] помогите очень прошу

Answer 1

F'=6x²+18x-24
6х²+18х-24=0
х²+3х-4=0
D=9+16=25
x1=-3-5 / 2 = -4
х2=-3+5 / 2=1
при х∈(-∞;-4]∪[1;+∞) - функция возрастает
при х∈[-4;1] - функция убывает
х max=-4 F max(-4)=-128++144+96+1=113
х min=1 Fmin (1)=2+9-24+1=-12
F(1)=-12 - наименьшее на [0;3]
F(3)=64 - наибольшее на [0;3]

Answer 2

Давайте разберемся с этими вопросами по очереди.

1. Найдем точки минимума и максимума функции:

Для этого найдем производную функции f(x):

f'(x) = d/dx (2x^3 + 9x^2 - 24x + 1) = 6x^2 + 18x - 24.

Чтобы найти критические точки (где производная равна нулю или не существует), решим уравнение f'(x) = 0:

6x^2 + 18x - 24 = 0.

Решая это уравнение, получаем x = -3 и x = 2. Теперь нам нужно проверить значения производной внутри интервала [0, 3] и на его концах (x = 0 и x = 3).

f'(0) = 6 * 0^2 + 18 * 0 - 24 = -24, f'(2) = 6 * 2^2 + 18 * 2 - 24 = 36.

Таким образом, точка x = 2 является локальным минимумом, а x = 0 - локальным максимумом.

2. Найдем промежутки возрастания и убывания функции:

Мы уже знаем, что функция возрастает на интервале (-∞, 0] и убывает на интервале [0, ∞). Так как наш интервал [0, 3], функция будет убывать на этом интервале.

3. Найдем наибольшее и наименьшее значение функции:

Для этого подставим найденные точки минимума, максимума и концы интервала в функцию:

f(0) = 2 * 0^3 + 9 * 0^2 - 24 * 0 + 1 = 1, f(2) = 2 * 2^3 + 9 * 2^2 - 24 * 2 + 1 = 17, f(3) = 2 * 3^3 + 9 * 3^2 - 24 * 3 + 1 = 28.

Следовательно, наибольшее значение функции на интервале [0, 3] равно 28, а наименьшее значение равно 1.

Итак, на промежутке [0, 3]:

• Точка максимума: (0, 1)
• Точка минимума: (2, 17)
• Промежуток возрастания: (0, 2)
• Промежуток убывания: (2, 3)
• Наибольшее значение функции: 28
• Наименьшее значение функции: 1