Question

Y=2x^3-9x^2+24x-56 (-3,5) Задания: 1)Вычислить экстремумы функции(точки максимума и минимума) 2)Найти промежутки возрастания и убывания функции 3)Вычислить наибольшее и наименьшее значение функции 4)Построить график функции

Answer 1

Ответ:

=====================================

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для выполнения данных заданий, нам сначала нужно найти производную функции, а затем решить уравнение производной для нахождения экстремумов и анализа возрастания/убывания функции.

1. Найдем производную функции y = 2x^3 - 9x^2 + 24x - 56: y' = d/dx (2x^3) - d/dx (9x^2) + d/dx (24x) - d/dx (56) = 6x^2 - 18x + 24

2. Найдем критические точки, решив уравнение y' = 0: 6x^2 - 18x + 24 = 0

   Выразим x^2 - 3x + 4 = 0: (x - 2)(x - 2) = 0

   Получаем две одинаковые критические точки x = 2.

3. Для нахождения значений функции в экстремумах и определения их типа (минимум или максимум), подставим найденные критические точки в исходную функцию: y(2) = 2(2^3) - 9(2^2) + 24(2) - 56 = 16 - 36 + 48 - 56 = -28

   Так как y''(2) = 12x - 18, и y''(2) = 12 * 2 - 18 = 6 > 0, то это точка минимума.

4. Теперь найдем промежутки возрастания и убывания функции, используя производную:

   • При x < 2: y' > 0, следовательно, функция возрастает.
   • При 2 < x: y' > 0, следовательно, функция также возрастает.

   Таким образом, функция возрастает на всей числовой прямой.

5. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции, рассмотрим ее поведение на бесконечности и в экстремумах:

   • На бесконечности (при x -> ±∞) функция также увеличивается бесконечно, поскольку старший член 2x^3 доминирует.

   • Минимальное значение функции было найдено в экстремуме x = 2: y(2) = -28.

   Таким образом, наименьшее значение функции -28 достигается в точке (2, -28), а функция не имеет наибольшего значения, так как увеличивается бесконечно.

6. Построим график функции y = 2x^3 - 9x^2 + 24x - 56:

   График будет убывать до экстремума в точке (2, -28) и затем возрастать бесконечно при x -> ±∞. Он будет иметь форму кубической кривой, которая открывается вверх.

   Примечание: Для более точного построения графика можно использовать программу для построения графиков, такую как GeoGebra, Desmos, или любую другую подобную программу.