Question

Исследовать на экстремум функцию: z=x^3+6xy+3y^2-18x-18y

Answer 1

Z = x³+6*x*y+3*y²-18*x-18*y
1. Найдем частные производные.
dz/dx = 3*x²+6*y-18,
dz/dy = 6*x+6*y-18.

2. Решим систему уравнений.
3*x²+6*y-18 = 0
6*x+6*y-18 = 0
Получим:
а) Из первого уравнения выражаем x и подставляем во второе уравнение:
x = -y+3
6*y+3*(-y+3)²-18 = 0
или
3*y²-12*y+9 = 0
Откуда y1 = 1; y2 = 3
Данные значения y подставляем в выражение для x. Получаем: x1 = 2; x2 = 0
б) Из первого уравнения выражаем y и подставляем во второе уравнение:
y = (-x²/2) + 3 
-3*x²+6*x = 0
или
3*x*(-x+2) = 0
Откуда x1 = 0; x2 = 2
Данные значения x подставляем в выражение для y. Получаем: y1 = 3; y2 = 1
Количество критических точек равно 2.
M1(2;1), M2(0;3)
3. Найдем частные производные второго порядка.
d²z/(dxdy) = 6,
d²z/(dx²) = 6x,
d²z/(dy²) = 6,

4. Вычислим значение этих частных производных второго порядка в критических точках M(x0;y0).
Вычисляем значения для точки M1(2;1)
A = d²z/(dx²(2;1)) =12,
C = d²z/(dy²(2;1)) = 6,
B = d²z/(dxdy(2;1)) = 6,
AC - B² = 72 - 36 = 36 > 0 и A > 0 , то в точке M1(2;1) имеется минимум:
 z(2;1) = -31.
Вычисляем значения для точки M2(0;3)
A = d²z/(dx²(0;3)) =0,
C = d²z/(dy²(0;3)) = 6,
B = d²z/(dxdy(0;3)) = 6,
AC - B² = 0 - 36 = -36 < 0, то глобального экстремума нет.
Вывод: В точке M1(2;1) имеется минимум z(2;1) = -31;

Answer 2

Для исследования функции на экстремумы, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти частные производные функции z по переменным x и y.
2. Решить систему уравнений, приравняв частные производные к нулю.
3. Найти вторые частные производные и проверить их на знак при найденных значениях x и y.
4. Определить характер экстремума (минимум, максимум или седловую точку).

Шаг 1: Найдем частные производные функции z по x и y.

Частная производная по x: dz/dx = 3x^2 + 6y - 18

Частная производная по y: dz/dy = 6x + 6y - 18

Шаг 2: Приравняем частные производные к нулю и решим систему уравнений:

3x^2 + 6y - 18 = 0 ...(1) 6x + 6y - 18 = 0 ...(2)

Выразим y из уравнения (2): 6y = 18 - 6x y = 3 - x

Теперь подставим y в уравнение (1): 3x^2 + 6(3 - x) - 18 = 0

Упростим: 3x^2 + 18 - 6x - 18 = 0 3x^2 - 6x = 0

Вынесем общий множитель: 3x(x - 2) = 0

Таким образом, получаем два решения для x: x = 0 и x = 2.

Теперь найдем соответствующие значения y:

1. При x = 0: y = 3 - x = 3 - 0 = 3

2. При x = 2: y = 3 - x = 3 - 2 = 1

Таким образом, мы получили две точки, в которых может находиться экстремум функции: (0, 3) и (2, 1).

Шаг 3: Найдем вторые частные производные функции z по x и y.

Частная производная по x: d^2z/dx^2 = 6x

Частная производная по y: d^2z/dy^2 = 6

Частная производная по x и y: d^2z/dxdy = 6

Шаг 4: Проверим знаки вторых частных производных в найденных точках (0, 3) и (2, 1).

1. Точка (0, 3): d^2z/dx^2 = 6 * 0 = 0 (не дает информации о характере экстремума) d^2z/dy^2 = 6 > 0 (положительная вторая производная по y) d^2z/dxdy = 6 (не дает информации о характере экстремума)

Так как вторая производная по y положительна, это указывает на локальный минимум.

2. Точка (2, 1): d^2z/dx^2 = 6 * 2 = 12 (положительная вторая производная по x) d^2z/dy^2 = 6 > 0 (положительная вторая производная по y) d^2z/dxdy = 6 (не дает информации о характере экстремума)

Так как вторые производные по x и y положительны, это указывает на локальный минимум.

Итак, мы обнаружили, что у функции есть два локальных минимума: один в точке (0, 3) и другой в точке (2, 1). Ниже приведен график функции для наглядности: