Question

Решите уравнение (cos2x-sinx)^2+(sin2x-cosx)^2=4

Answer 1

Cos2x=cos^2x-sin^2x

sin2x=2sinx*cosx

sin^2x=1-cos^2x

cosx-4sin^2x*cosx-4cos^2x+4sin^2x-4sin^2x=0

cosx-4(1-cos^2x)(cosx)-4cos^2x=0

4cos^3x-4cos^2x-3cosx=0

cosx(4cos^2x-4cosx-3)=0

1)cosx=0 ..... Это первое.(Ответ)

x=

2)4cos^2x-4cosx-3=0

дискриминант равен 64

cosX1= 12/8

cosX2= -1/2

cosX1- тоесть посторонний корень

cosX2=-1/2 X= плюс\минус  .....Второй ответ

Answer 2

Для решения уравнения (cos2x - sinx)^2 + (sin2x - cosx)^2 = 4, выполним следующие шаги:

1. Раскроем квадраты в выражении.
2. Упростим выражение и приведем к виду, содержащем одну тригонометрическую функцию.
3. Решим получившееся уравнение.

Шаг 1: (cos2x - sinx)^2 = cos^2(2x) - 2cos(2x)sinx + sin^2(x) (sin2x - cosx)^2 = sin^2(2x) - 2sin(2x)cosx + cos^2(x)

Шаг 2: Теперь уравнение примет вид: cos^2(2x) - 2cos(2x)sinx + sin^2(x) + sin^2(2x) - 2sin(2x)cosx + cos^2(x) = 4

Сгруппируем подобные члены: cos^2(2x) + sin^2(2x) + sin^2(x) + cos^2(x) - 2cos(2x)sinx - 2sin(2x)cosx = 4

Используем тригонометрические тождества: cos^2(2x) + sin^2(2x) = 1 cos^2(x) + sin^2(x) = 1

Теперь уравнение примет вид: 1 + 1 - 2cos(2x)sinx - 2sin(2x)cosx = 4

2 - 2cos(2x)sinx - 2sin(2x)cosx = 4

Шаг 3: Перенесем все члены на одну сторону уравнения:

-2cos(2x)sinx - 2sin(2x)cosx = 2

Факторизуем общий множитель (-2):

-2(cos(2x)sinx + sin(2x)cosx) = 2

Теперь воспользуемся формулой тригонометрии sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B):

-2(sin(2x + x)) = 2

-2(sin(3x)) = 2

Теперь поделим обе части на -2:

sin(3x) = -1

Теперь найдем все значения x, для которых sin(3x) равно -1. Значение -1 соответствует углу -π/2.

Таким образом, уравнение sin(3x) = -1 имеет следующие решения:

3x = -π/2 + 2kπ

где k - целое число.

Теперь найдем значения x:

x = (-π/2 + 2kπ)/3

где k - целое число.

Таким образом, решение уравнения состоит из всех значений x, которые можно получить, подставляя различные целые значения k.