Question

Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка и частное решение, удовлетворяющее начальному условиям: y``+y`=e^-x, y(0)=y`(0)=1

Answer 1

$y''+y'=e^{-x} \\ y=e^{kx} \\ k^2e^{kx}+ke^{kx}=0 \\ e^{kx}(k^2+k)=0 \\ k(k+1)=0 \\ y=C_1+C_2e^{-x} \\ y^*=Axe^{-x} \\ y^*'=Ae^{-x}-Axe^{-x}=Ae^{-x}(1-x) \\ y^*''=-Ae^{-x}(1-x)-Ae^{-x}=-Ae^{-x}(1-x+1)=Ae^{-x}(x-2) \\ Ae^{-x}(x-2)+Ae^{-x}(1-x)=e^{-x} \\ Ae^{-x}(x-2+1-x)=e^{-x} \\ Ae^{-x}*(-1)=e^{-x} \\ -A=1 \\ A=-1 \\\\ y^*=-xe^{-x} \\ Y=C_1+C_2e^{-x}-xe^{-x}$

$\\\\ \left \{ {{y=C_1+C_2e^{-x}-xe^{-x}} \atop {y'=-C_2e^{-x}-e^{-x}+xe^{-x}}} \right. \\ \left \{ {{y=C_1+C_2e^{-0}-0*e^{-0}=1} \atop {y'=-C_2e^{-0}-e^{-0}+0*e^{-0}=1}} \right. \\ \left \{ {{C_1+C_2=1} \atop {-C_2-1=1}} \right. \\ \left \{ {{C_1+C_2=1} \atop {C_2=-2} \right. \\ \left \{ {{C_1=3} \atop {C_2=-2} \right. \\ Y=3+-2e^{-x}-xe^{-x}$

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения второго порядка и нахождения общего решения, сначала найдем характеристическое уравнение и его корни. Затем, используя начальные условия, найдем частное решение.

Дифференциальное уравнение имеет вид: y`` + y` = e^(-x)

Шаг 1: Найдем характеристическое уравнение: r^2 + r = 0

Шаг 2: Решим характеристическое уравнение для нахождения корней: r(r + 1) = 0

Корни характеристического уравнения: r1 = 0 r2 = -1

Шаг 3: Найдем общее решение дифференциального уравнения: Общее решение имеет вид: y(x) = C1 * e^(r1x) + C2 * e^(r2x), где C1 и C2 - произвольные константы.

Подставим значения корней в общее решение: y(x) = C1 * e^(0*x) + C2 * e^(-x)

y(x) = C1 + C2 * e^(-x)

Шаг 4: Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y(0) = 1 и y`(0) = 1.

Подставим начальные условия в общее решение: y(0) = C1 + C2 * e^(0) = C1 + C2 = 1

y`(x) = -C2 * e^(-x)

y`(0) = -C2 * e^(0) = -C2 = 1

Из уравнения y(0) = C1 + C2 = 1 получаем C1 = 1 - C2.

Из уравнения y`(0) = -C2 = 1 получаем C2 = -1.

Теперь найдем C1: C1 = 1 - C2 = 1 - (-1) = 2

Таким образом, частное решение имеет вид: y(x) = 2 - e^(-x)

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения y`` + y = e^(-x) является y(x) = C1 + C2 * e^(-x), где C1 и C2 - произвольные константы, а частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y(0) = 1 и y(0) = 1, равно y(x) = 2 - e^(-x).