Question

Найдите точку минимума x=x0 функции f(x)=0.9x^5-4,5x^3+4 1)1 2)-1 3)sqrt2 4)sqrt3 5)-sqrt2

Answer 1

F' = 4.5 x^4 - 13.5x^2 =0 , (x^2 )*(4.5*x^2 - 13.5) = 0, x =0, x=0, x = sqrt(13.5/4.5) = sqrt3, x =-sqrt3.
 f'' = 18 x^3 -27 x. Минимум, это та точка, где вторая производная положительна. Подстановкой корней находим, что это sqrt3

Answer 2

Для нахождения точки минимума функции f(x) = 0.9x^5 - 4.5x^3 + 4, необходимо найти значение x, при котором производная функции равна нулю. Точка минимума будет являться точкой экстремума, а именно, локальным минимумом.

1. Найдем производную функции f(x) по x: f'(x) = d/dx(0.9x^5 - 4.5x^3 + 4)

Производная f'(x) равна: f'(x) = 4.5x^4 - 13.5x^2

2. Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение: 4.5x^4 - 13.5x^2 = 0

3. Вынесем общий множитель x^2 из уравнения: x^2(4.5x^2 - 13.5) = 0

4. Получаем два значения x: x^2 = 0 => x = 0 4.5x^2 - 13.5 = 0 => 4.5x^2 = 13.5 => x^2 = 13.5 / 4.5 => x^2 = 3 => x = ±sqrt(3)

Таким образом, точки, где производная f'(x) равна нулю и возможны точки экстремума функции f(x), это x = 0 и x = ±sqrt(3).

5. Теперь осталось найти, является ли найденные точки точками минимума или максимума. Для этого проанализируем знаки второй производной функции f''(x):

f''(x) = d^2/dx^2(0.9x^5 - 4.5x^3 + 4)

Вычисляем вторую производную: f''(x) = 4 * 4.5x^3 - 6 * 4.5x

Упростим: f''(x) = 18x(2x^2 - 1)

Теперь подставим значения x = 0, x = sqrt(3) и x = -sqrt(3) во вторую производную f''(x):

• Для x = 0: f''(0) = 18 * 0(2 * 0^2 - 1) = 0 * (-1) = 0

• Для x = sqrt(3): f''(sqrt(3)) = 18 * sqrt(3)(2 * (sqrt(3))^2 - 1) = 18 * sqrt(3)(2 * 3 - 1) = 18 * sqrt(3) * 5 > 0

• Для x = -sqrt(3): f''(-sqrt(3)) = 18 * (-sqrt(3))(2 * (-sqrt(3))^2 - 1) = 18 * (-sqrt(3))(2 * 3 - 1) = -18 * sqrt(3) * 5 < 0

6. По результатам анализа второй производной, можно сделать вывод:

• В точке x = sqrt(3) производная меняет знак с «-» на «+», что означает, что в этой точке функция имеет локальный минимум.
• В точке x = -sqrt(3) производная меняет знак с «+» на «-», что означает, что в этой точке функция имеет локальный максимум.
• Точка x = 0 не является точкой экстремума, так как производная равна нулю, но не меняет знак.

Таким образом, точка минимума функции f(x) = 0.9x^5 - 4.5x^3 + 4 — это x = sqrt(3) (вариант 4).