Question

Интеграл (1+tgx)/sin2x

Answer 1

$\int\frac{1+tgx}{sin2x}dx=\int\frac{(1+t)(1+t^2)}{2t(1+t^2)}=\frac{1}{2}\int(\frac{1}{t}+1)dt=\frac{1}{2}(ln|t|+t)=\\=\frac{1}{2}(ln|tgx|+tgx)+C\\tgx=t\\x=arctgt\\dx=\frac{dt}{1+t^2}\\sin2x=\frac{2t}{1+t^2}$

Answer 2

Для решения данного интеграла, воспользуемся методом подстановки. Для начала, заменим tg(x) на sin(x)/cos(x):

tg(x) = sin(x) / cos(x)

Теперь подставим эту замену в числитель интегранда:

1 + tg(x) = 1 + sin(x) / cos(x)

Теперь заменим sin(x) в знаменателе на его эквивалентное выражение через tg(x):

sin(x) = tg(x) * cos(x)

Теперь перепишем знаменатель интегранда:

sin^2(x) = (tg(x) * cos(x))^2

sin^2(x) = tg^2(x) * cos^2(x)

Теперь можем записать исходный интеграл с новыми заменами:

∫ (1 + tg(x)) / sin^2(x) dx = ∫ (1 + sin(x) / cos(x)) / (tg^2(x) * cos^2(x)) dx

Мы получили интеграл, содержащий tg(x) и cos(x) в знаменателе, что позволяет нам использовать другую подстановку. Поставим:

u = tg(x)

Тогда:

du = dx / cos^2(x)

Заменяем в интеграле:

∫ (1 + u) / (u^2 * cos^2(x)) du

Теперь можно разбить дробь на две части:

∫ (1 / (u^2 * cos^2(x))) du + ∫ (u / (u^2 * cos^2(x))) du

Решим каждый из интегралов:

1. ∫ (1 / (u^2 * cos^2(x))) du

Заменим cos^2(x) на 1 - sin^2(x) (также используем замену sin(x) = u * cos(x)):

∫ (1 / (u^2 * (1 - sin^2(x)))) du

∫ (1 / (u^2 * (1 - u^2 * cos^2(x)))) du

Теперь воспользуемся заменой u^2 * cos^2(x) = u^2 - sin^2(x) = u^2 - u^2 * cos^2(x):

∫ (1 / (u^2 * (1 - u^2 + u^2 * cos^2(x)))) du

∫ (1 / (u^2 * (1 - u^2))) du

Теперь проинтегрируем:

∫ (1 - u^2)^(-1) du = -arctan(u) + C1

2. ∫ (u / (u^2 * cos^2(x))) du

Также используем замену u^2 * cos^2(x) = u^2 - sin^2(x) = u^2 - u^2 * cos^2(x):

∫ (u / (u^2 * (1 - u^2 + u^2 * cos^2(x)))) du

∫ (u / (u^2 * (1 - u^2))) du

Теперь проинтегрируем:

∫ (1 - u^2)^(-1) du = -arctan(u) + C2

Теперь вернемся к переменной x, подставив обратные замены:

-arctan(tg(x)) + C1 + -arctan(tg(x)) + C2

Теперь объединим константы:

-arctan(tg(x)) - arctan(tg(x)) + C

Таким образом, окончательный результат:

∫ (1 + tg(x)) / sin^2(x) dx = -2 * arctan(tg(x)) + C

где C - произвольная постоянная интегрирования.