Question

У Мистера Фокса есть в распоряжении фломастеры n цветов, которыми он собирается покрасить рёбра куба (каждое ребро — в один из n цветов). Найдите наибольшее значение n, для которого существует такая раскраска рёбер куба, что для любых двух цветов (из n) найдутся два ребра, покрашенные в эти цвета и имеющие общую вершину.

Answer 1

Должно быть не меньше, чем по два ребра каждого цвета. Значит, максимум, 12:2=6 цветов. Представим, что цветов больше 6. Тогда у нас найдется обязательно одно ребро, у которого нет пары по цвету. Потому что всего 12 ребер в кубе. Но у каждого ребра в кубе только 4 ребра, с которыми он имеет соседнюю вершину. Получается 5 разных цветов, а мы только что решили, что их больше 6-ти. Получается несоответствие условию задачи. Поэтому ответ- 6 цветов максимум.

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения n, при котором существует такая раскраска рёбер куба, что для любых двух цветов из n найдутся два ребра, покрашенные в эти цвета и имеющие общую вершину, нужно применить принцип Дирихле (или принцип ящиков и шаров).

Принцип Дирихле гласит, что если распределить k объектов в n контейнеров, где k > n, то как минимум в одном контейнере будет более одного объекта.

В данном случае, контейнеры представляют собой цвета, а объекты - рёбра куба. Мы хотим, чтобы каждый цвет содержал ровно по два ребра с общей вершиной.

Предположим, что у нас есть n цветов, и каждый цвет содержит по два ребра с общей вершиной. Тогда общее количество рёбер будет 2n (по 2 ребра на каждый цвет). У куба всего 12 рёбер, поэтому 2n должно быть больше или равно 12: 2n ≥ 12.

Наибольшее целое значение n, удовлетворяющее этому неравенству, равно 6 (2 * 6 = 12). Это означает, что максимальное количество цветов, которые Мистер Фокс может использовать, равно 6.

Таким образом, наибольшее значение n, при котором существует такая раскраска рёбер куба, состоит из 6 различных цветов.