Question

Записать формулу для производной n-го порядка указанной функции y=2^x

Answer 1

$2^x ' = 2^x ln2 \\ \\ 2^x '' = (2^xln2)' = 2^x ln2 * ln2 = 2^x (ln2)^2\\ \\ 2^x ''' = (2^x (ln2)^2)' = 2^x (ln2)^3$

И так далее, уже все очевидно.
$(2^x)^{(n)} = 2^x (ln2)^n$

Answer 2

Чтобы вычислить производную n-го порядка функции y = 2^x, мы должны последовательно применить производную первого порядка n раз. Производная первого порядка функции y = 2^x выглядит следующим образом:

dy/dx = d/dx (2^x) = 2^x * ln(2).

Здесь ln(2) - натуральный логарифм числа 2.

Теперь вычислим производные высших порядков. Производная второго порядка:

d^2y/dx^2 = d/dx (2^x * ln(2)) = 2^x * d/dx (ln(2)) = 2^x * ln(2) * ln(2).

Производная третьего порядка:

d^3y/dx^3 = d/dx (2^x * ln(2) * ln(2)) = 2^x * d/dx (ln(2) * ln(2)) = 2^x * ln(2) * d/dx (ln(2)) = 2^x * ln(2) * ln(2) * ln(2).

Мы можем заметить закономерность: при вычислении производной n-го порядка, коэффициентом перед ln(2) будет ln(2) возведенное в степень n.

Таким образом, формула для производной n-го порядка функции y = 2^x:

d^n y / dx^n = 2^x * (ln(2))^n.