Question

Записать формулу для производной н-ого порядка указанной функции

Answer 1

Y = ln(5 + x^2)
y ' = 1/(5 + x^2)*2x = 2x/(5 + x^2)
y '' = [2(5+x^2) - 2x*2x]/(5+x^2)^2 = (10-2x^2)/(5+x^2)^2
$y '''=\frac{-4x(5+x^2)^2 - (10-2x^2)*2(5+x^2)*2x}{(5+x^2)^4} = \frac{-4x(5+x^2) - 4x(10-2x^2)}{(5+x^2)^3} = \frac{4x^3-60x}{(5+x^2)^3}$
$y^{iv} = \frac{(12x^2-60)(5+x^2)^3-(4x^3-60x)*3(5+x^2)^2*2x}{(5+x^2)^6}= \\ =\frac{(12x^2-60)(5+x^2)-6x(4x^3-60x)}{(5+x^2)^4} = \frac{12x^4-300-24x^4+360x^2}{(5+x^2)^4} = -\frac{12x^4-360x^2+300}{(5+x^2)^4}$
Получается, что n-ая производная
y^(n) = (-1)^(n-1)*f(x)/(5+x^2)^n
А вот вид функции f(x) в числителе определить в общем виде не удается.
Функции в производных по номерам такие:
1) 2x
2) 10 - 2x^2 = -2(x^2 - 5)
3) 4x^3 - 60x = 4(x^3 - 15x)
4) -(12x^4 - 360x^2 + 300) = -12(x^4 - 30x^2 + 25)
Что будет дальше - я даже предположить боюсь.