Question

Помогите пожалуйста! Определённый интеграл -1;0 dx/3x-2

Answer 1

............................

Answer 2

Конечно, я помогу!

Чтобы вычислить определенный интеграл ∫[a; b] dx / (3x - 2) от a = -1 до b = 0, выполните следующие шаги:

1. Найдите первообразную функции f(x) для выражения под интегралом.
2. Вычислите значение первообразной функции в точке b (f(b)) и значение в точке a (f(a)).
3. Вычислите разность f(b) - f(a).

Шаг 1: Найдем первообразную функции для выражения 1 / (3x - 2):

∫ dx / (3x - 2)

Для этого проведем замену переменной. Положим u = 3x - 2, тогда dx = du / 3. Подставим это в интеграл:

∫ (1/3) * du / u

Теперь проинтегрируем:

(1/3) * ln|u| + C

где C - произвольная константа интегрирования.

Шаг 2: Вычислим значения первообразной функции f(x) в точках b и a:

f(0) = (1/3) * ln|3*0 - 2| + C = (1/3) * ln|2| + C = ln|2| / 3 + C

f(-1) = (1/3) * ln|3*(-1) - 2| + C = (1/3) * ln|-5| + C = ln|5| / 3 + C

Шаг 3: Вычислим разность f(b) - f(a):

∫[-1; 0] dx / (3x - 2) = f(0) - f(-1)

Теперь подставим найденные значения:

∫[-1; 0] dx / (3x - 2) = (ln|2| / 3 + C) - (ln|5| / 3 + C)

Заметим, что константа интегрирования C сократится:

∫[-1; 0] dx / (3x - 2) = ln|2| / 3 - ln|5| / 3

Итак, определенный интеграл от -1 до 0 от выражения 1 / (3x - 2) равен:

∫[-1; 0] dx / (3x - 2) = ln|2| / 3 - ln|5| / 3 ≈ -0.2301