Question

1.найти производную функции в точке х0 а) у=3х2, х0=1 б) у=-2sin x0=П/4 в) у=2+корень из х х0=4

Answer 1

A)
$(3x^2)' = 6x\\ 6x_0 = 6*1=6 \\\\ (-2\sin x)'=-2\cos x \\ -2\cos x_0 = -2 \cos \frac{\pi}{4}=-2*\frac{\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}\\\\ (2+\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\\ \frac{1}{2\sqrt{x_0}}=\frac{1}{4}$

Answer 2

Для нахождения производной функции в заданной точке $x_0$ необходимо выполнить следующие шаги:

a) $y = 3x^2$, $x_0 = 1$

Для нахождения производной функции $y$ по $x$, обозначенной $y'$ или $\frac{dy}{dx}$, необходимо продифференцировать $y$ по $x$ с учетом правила степенной производной:

$\frac{d}{dx}(x^n) = n \cdot x^{n-1}$

Таким образом, для функции $y = 3x^2$ производная будет:

$y' = \frac{d}{dx}(3x^2) = 2 \cdot 3x^{2-1} = 6x$

Теперь вычислим производную в точке $x_0 = 1$:

$y'(x_0) = 6 \cdot 1 = 6$

Ответ: $y'(x_0) = 6$.

б) $y = -2\sin x$, $x_0 = \frac{\pi}{4}$

Для нахождения производной функции $y$ по $x$ для функции $y = -2\sin x$ применим правило производной для тригонометрических функций:

$\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$

Теперь вычислим производную в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$:

$y'(x_0) = -2 \cdot \cos \left(\frac{\pi}{4}\right) = -2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$

Ответ: $y'(x_0) = -\sqrt{2}$.

в) $y = 2 + \sqrt{x}$, $x_0 = 4$

Для нахождения производной функции $y$ по $x$ для функции $y = 2 + \sqrt{x}$ используем правило производной для корня:

$\frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Теперь вычислим производную в точке $x_0 = 4$:

$y'(x_0) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$

Ответ: