Question

Знайти загальний роз'язок лінійного диференціального рівняння першого порядку y'+y/x=3x

Answer 1

Решение на фотографии

Answer 2

Для знаходження загального роз'язку лінійного диференціального рівняння першого порядку потрібно розв'язати саме рівняння та виконати деякі кроки для знаходження загального роз'язку. Давайте почнемо.

Дане диференціальне рівняння має вигляд: $y' + \frac{y}{x} = 3x.$

Спростимо рівняння, перемноживши обидві його частини на $x$: $xy' + y = 3x^2.$

Тепер ми можемо ввести нову змінну, наприклад $u(x) = xy(x)$. Знайдемо похідну $u'(x)$: $u'(x) = x\cdot y'(x) + y(x).$

Підставимо вираз для $u'(x)$ у спрощене диференціальне рівняння: $u'(x) = 3x^2.$

Тепер розділимо обидві частини рівняння на $x$: $\frac{du}{dx} = 3x.$

Зараз ми можемо інтегрувати обидві частини по змінній $x$: $\int du = \int 3x \, dx.$

Отримаємо: $u = \frac{3x^2}{2} + C,$

де $C$ - це довільна константа інтегрування.

Тепер повернемось до виразу $u(x) = xy(x)$ і підставимо значення $u$: $xy(x) = \frac{3x^2}{2} + C.$

Звідси ми можемо виразити $y(x)$: $y(x) = \frac{3x}{2} + \frac{C}{x}.$

Це загальний роз'язок диференціального рівняння. Якщо задані початкові умови, то можна визначити конкретне значення $C$ та отримати частинний розв'язок.