Question

Даша и Маша написали на доске по два различных числа. Затем каждое Машино число умножили на каждое Дашино число. Получили 4 произведения. Может ли случиться так, что сумма каких - то двух из этих произведений равна сумме двух оставшихся?

Answer 1

Маша написала числа M1 и M2, а Даша D1 и D2.
Произведения M1*D1, M1*D2, M2*D1, M2*D2.
Сумма двух произведений равна сумме двух других произведений.
Возможные варианты:
1) M1*D1 + M1*D2 = M2*D1 + M2*D2
M1*(D1 + D2) = M2*(D1 + D2)
Отсюда M1 = M2, но по условию Маша написала 2 различных числа.
Значит, этот вариант не подходит.
2) M1*D1 + M2*D1 = M1*D2 + M2*D2
D1*(M1 + M2) = D2*(M1 + M2)
Теперь получилось, что D1 = D2, но это тоже невозможно.
3) M1*D1 + M2*D2 = M1*D2 + M2*D1
M1*D1 - M1*D2 = M2*D1 - M2*D2
M1*(D1 - D2) = M2*(D1 - D2)
Теперь опять получилось, что M1 = M2, или D1 = D2.

Ответ: Это может случиться, только если одна из девочек, или обе, напишет два одинаковых числа.

Answer 2

Давайте обозначим числа Даши как A и B, а числа Маши как X и Y. Из условия мы знаем, что A ≠ B и X ≠ Y.

Теперь рассмотрим все четыре возможных произведения:

1. AX (произведение числа Маши X на число Даши A)
2. AY (произведение числа Маши Y на число Даши A)
3. BX (произведение числа Маши X на число Даши B)
4. BY (произведение числа Маши Y на число Даши B)

Мы хотим проверить, может ли сумма двух произведений равняться сумме двух оставшихся произведений. Давайте рассмотрим все возможные комбинации:

1. AX + AY = A(X + Y)
2. AX + BX = X(A + B)
3. AX + BY = AX + BY
4. AY + BX = AY + BX
5. AY + BY = A(Y + B)
6. BX + BY = B(X + Y)

Теперь заметим, что все произведения содержат множители A или B, а также множители X или Y. Таким образом, сумма двух произведений всегда будет содержать общий множитель (A или B) и суммы множителей (X + Y) или (X + B) или (Y + B).

Теперь важно отметить, что числа A, B, X и Y — это различные числа. Таким образом, сумма двух различных чисел не может быть равна другой сумме различных чисел. Это означает, что сумма каких-то двух произведений не может быть равна сумме двух оставшихся произведений.

Итак, нет такой ситуации, когда сумма каких-то двух произведений равна сумме двух оставшихся произведений.