Question

Пожалуйста помогите!! НУЖНО ОЧЕНЬ СРОЧНО!! ДАЮ 30 баллов!! Найти неопределенный интеграл: e^(sinx+4) * cos(x)

Answer 1

$\displaystyle \int e^{sinx+4}cosxdx=\int e^{sinx+4}d(sinx+4)=e^{sinx+4}+C$

Answer 2

Хорошо, давайте найдем неопределенный интеграл ∫ e^(sinx+4) * cos(x) dx.

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться методом интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям имеет вид:

∫ u * dv = u * v - ∫ v * du,

где u и v - это функции, а du и dv - их дифференциалы.

Для данной функции, выберем:

u = e^(sinx+4) => du = (cosx) * e^(sinx+4) dx, dv = cos(x) => v = ∫ cos(x) dx = sin(x).

Теперь, применим формулу интегрирования по частям:

∫ e^(sinx+4) * cos(x) dx = u * v - ∫ v * du = e^(sinx+4) * sin(x) - ∫ sin(x) * (cosx) * e^(sinx+4) dx.

Мы получили новый интеграл с тем же самым интегралом ∫ e^(sinx+4) * cos(x) dx, но с дополнительным слагаемым e^(sinx+4) * sin(x) в начале.

Теперь повторим процесс интегрирования по частям для полученного интеграла:

∫ e^(sinx+4) * cos(x) dx = e^(sinx+4) * sin(x) - ∫ sin(x) * (cosx) * e^(sinx+4) dx.

Заметим, что этот новый интеграл похож на исходный, поэтому выразим его в терминах первоначального интеграла:

∫ e^(sinx+4) * cos(x) dx = e^(sinx+4) * sin(x) - ∫ e^(sinx+4) * cos(x) dx.

Теперь, чтобы решить уравнение относительно ∫ e^(sinx+4) * cos(x) dx, вычтем его из обеих сторон:

2 * ∫ e^(sinx+4) * cos(x) dx = e^(sinx+4) * sin(x).

Теперь делим обе стороны на 2:

∫ e^(sinx+4) * cos(x) dx = (1/2) * e^(sinx+4) * sin(x) + C,

где C - произвольная постоянная интегрирования.

Таким образом, неопределенный интеграл от функции e^(sinx+4) * cos(x) равен:

∫ e^(sinx+4) * cos(x) dx = (1/2) * e^(sinx+4) * sin(x) + C.

Где C - произвольная постоянная.