Question

Доследить функцию на монотонность и екстремум y=1/x+2

Answer 1

ДАНО
Y = 1/(x+2)
НАЙТИ
Экстремумы..
РЕШЕНИЕ
Сначала область определения функции.
x+2  ≠ 0  и x ≠ -2 и X∈(-∞;-2)∪(-2;+∞).
Экстремумы в корнях первой производной.
$Y'(x)= - \frac{1}{(x+2)^2}=0$
Корней - нет. Экстремумов - нет.
Производная отрицательная - функция убывает - всем интервале существования. 
Убывает - X∈(-∞;-2)∪(-2;+∞) - ОТВЕТ
Рисунок с графиками функции и её производной  в приложении.

Answer 2

Для исследования функции на монотонность и экстремумы, сначала найдем ее производную. Затем определим интервалы, на которых функция возрастает или убывает, и найдем точки, в которых производная равна нулю (потенциальные экстремумы).

Исходная функция: y = 1/x + 2

Шаг 1: Найдем производную функции y по x:

y' = d/dx (1/x + 2) = -1/x^2

Шаг 2: Определим интервалы монотонности:

Мы знаем, что производная определяет наклон кривой функции. Чтобы определить интервалы монотонности, рассмотрим знак производной.

Когда производная положительна: y' > 0 -1/x^2 > 0 x^2 < 0

Так как квадрат числа не может быть отрицательным, производная не имеет положительных значений.

Когда производная отрицательна: y' < 0 -1/x^2 < 0 x^2 > 0

Производная отрицательна при любом x, кроме x = 0.

Таким образом, функция y = 1/x + 2 убывает на всей числовой прямой, за исключением точки x = 0.

Шаг 3: Найдем точки экстремума:

Точки экстремума соответствуют точкам, где производная равна нулю или не существует. У нас уже есть такая точка - x = 0.

Шаг 4: Определение типа экстремума:

Чтобы определить, является ли найденная точка экстремума максимумом или минимумом, проанализируем знак производной в окрестности этой точки:

Для x < 0: -1/x^2 < 0 Это означает, что функция убывает на интервале (-∞, 0).

Для x > 0: -1/x^2 > 0 Это означает, что функция убывает на интервале (0, +∞).

Итак, у нас есть минимум функции y = 1/x + 2 в точке (0, 2). На данной кривой графика функции есть точка минимума в (0, 2), а функция убывает как до, так и после этой точки.

Общая информация об исследованной функции:

• Функция убывает на всей числовой прямой за исключением точки x = 0.
• Точка минимума функции находится в точке (0, 2).