Question

Решите тест по комбинаторной математики пожалуйста. 1.Сколько есть пятизначных чисел, делящихся на 4, в записи которых не используются цифры 0, 4, 6, 8? 2.Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белого и черного королей, чтобы они не били друг друга? Пожалуйста с решением.

Answer 1

1. т.к. число делится на 4, то оно четное, значит, на конце стоит 2 (остальные четные нельзя использовать по условию)

чтобы число делилось на 4, перед 2 могут стоять 1, 3, 5, 7, 9 - 5 вариантов

на остальные места 6 вариантов (т.е. еще 2)

итого чисел: 6*6*6*5*1 = 1080

Ответ: 1080

2.
для первого короля возможны три варианта:
1) он стоит в углу и блокирует 3 клетки, т.е. вариантов 4*(64-4), 64 - 4 - это варианты клеток, в которые можно поставить второго, 4 - угловые клетки

2) он стоит на боковой стороне и блокирует 5 клеток 24 * (64 - 6)
24 - боковые клетки

3) стоит не на границе и блокирует 8 клеток: 36 * (64 - 9)
36 - не граничных клеток

итого способов: 36*55 + 24 * 58 + 4 * 60 = 3612 

Ответ: 3612

Answer 2

1. Сколько есть пятизначных чисел, делящихся на 4, в записи которых не используются цифры 0, 4, 6, 8?

Для пятизначного числа, чтобы оно делилось на 4, его последние две цифры должны образовывать число, кратное 4. Поскольку последние две цифры не могут быть 0, 4, 6 или 8, есть ограниченный набор комбинаций, которые образуют число, кратное 4:

12, 16, 32, 36, 52, 56, 72, 76, 92, 96.

Теперь рассмотрим первые три цифры числа. Они не могут быть нулем. Так как числа пятизначные, первая цифра не может быть нулем. Таким образом, у нас есть 9 вариантов для первой цифры и 9 вариантов для второй цифры (поскольку они не могут повторяться), а для третьей цифры у нас есть 8 вариантов (поскольку она не может повторяться и не может быть равна первой двум цифрам).

Таким образом, всего возможных комбинаций для первых трех цифр: 9 * 9 * 8 = 648.

Итак, количество пятизначных чисел, делящихся на 4, в записи которых не используются цифры 0, 4, 6, 8, равно: 10 (количество комбинаций последних двух цифр) * 648 (количество комбинаций первых трех цифр) = 6480.

Ответ: 6480 пятизначных чисел.

2. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белого и черного королей, чтобы они не били друг друга?

На шахматной доске 8x8 может быть размещено 64 клетки. Для первого короля есть 64 возможных местоположения. После установки первого короля на доске остается 63 клетки для размещения второго короля.

Однако, чтобы короли не били друг друга, второй король не может находиться на клетке, которая находится на одном и том же ряду, столбце или по диагонали относительно первого короля. У первого короля есть 8 клеток вокруг него, которые недопустимы для размещения второго короля. Таким образом, для второго короля есть 63 - 8 = 55 возможных местоположений.

Общее количество способов размещения двух королей без учета их цвета равно произведению количества возможных местоположений первого короля на количество возможных местоположений второго короля:

64 (первый король) * 55 (второй король) = 3520.

Однако, каждой возможной расстановке королей на доске соответствуют два варианта размещения (белый король первый или черный король первый). Поэтому нужно поделить общее количество способов пополам:

3520 / 2 = 1760.

Ответ: Существует 1760 способов поставить на шахматную доску белого и черного королей так, чтобы они не били друг друга.