Question

Решите неравенство: 2^lg(x^2-4)>=(x+2)^lg2

Answer 1

$2^{\lg(x^2-4)}\ge(x+2)^{\lg 2};$

ОДЗ:  $\left \{ {no numeric noise key 1026 \atop no numeric noise key 1025} \right. \leftrightarrow x\ \textgreater \ 2;$

$\lg2^{\lg(x^2-4)}\ge\lg(x+2)^{\lg 2}; \ \lg 2\cdot \lg(x^2-4)\ge\lg 2\cdot \lg(x+2);$

$\lg(x^2-4)\ge\lg(x+2);\ x^2-4\ge x+2;\ (x-2)(x+2)\ge x+2;$

$x\ \textgreater \ 2\Rightarrow x+2>0; x-2\ge1;\ x\ge 3$

Ответ:  $[3;+\infty)$

Answer 2

Для решения данного неравенства, давайте разберемся с ним поэтапно.

1. Начнем с правой стороны: (x + 2)^lg2 Возьмем логарифм по основанию 2 от обеих сторон неравенства, чтобы избавиться от степени: lg((x + 2)^lg2) ≥ lg(2) Используем свойство логарифмов lg(a^b) = b * lg(a): lg2 * lg(x + 2) ≥ lg(2) lg2 * lg(x + 2) ≥ 1

2. Теперь рассмотрим левую сторону: 2^lg(x^2 - 4) Заменим 2^lg(x^2 - 4) на (x^2 - 4), так как 2^lg(a) равно a: x^2 - 4 ≥ lg2 * lg(x + 2)

3. Теперь объединим обе части неравенства: x^2 - 4 ≥ lg2 * lg(x + 2)

Теперь у нас есть одно неравенство, которое нужно решить. Прежде чем продолжить, важно учесть ограничения:

1. Число внутри логарифма должно быть положительным, т.е. (x^2 - 4) > 0 Решим это неравенство: x^2 - 4 > 0 (x - 2)(x + 2) > 0 Здесь мы получаем два интервала: x > 2 и x < -2.

2. Также, логарифм должен быть определен, т.е. (x + 2) > 0, что приводит к x > -2.

Объединим ограничения: -2 < x < 2

Теперь проверим каждую часть неравенства внутри и вне этого интервала.

1. Если x < -2: x^2 - 4 < 0 (так как x^2 меньше нуля, и прибавление -4 не изменит это) lg2 * lg(x + 2) отрицательно (так как x < -2, то x + 2 будет отрицательным числом) Поэтому неравенство x^2 - 4 ≥ lg2 * lg(x + 2) верно для всех x < -2.

2. Если -2 < x < 2: x^2 - 4 > 0 (так как x лежит между -2 и 2, и квадрат любого числа в этом интервале положителен) lg2 * lg(x + 2) положительно (так как x + 2 положительно в этом интервале) Поэтому неравенство x^2 - 4 ≥ lg2 * lg(x + 2) также верно для всех x в интервале (-2, 2).

3. Если x > 2: x^2 - 4 > 0 (так как x^2 больше нуля, и вычитание 4 не изменит это) lg2 * lg(x + 2) положительно (так как x > 2, то x + 2 будет положительным числом) Поэтому неравенство x^2 - 4 ≥ lg2 * lg(x + 2) верно для всех x > 2.

Таким образом, решением данного неравенства является объединение всех трех интервалов: x < -2 или -2 < x < 2 или x > 2