Question

Найти предел от (n / (n+1))^2 при n стремящимся к бесконечности

Answer 1

$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2+2n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2(1+ \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2} )} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1+ \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}} =1$

Answer 2

Для нахождения предела выражения при $n$ стремящимся к бесконечности, можно использовать правило Лопиталя (L'Hôpital's rule). Оно позволяет найти предел отношения двух функций, если пределы числителя и знаменателя равны бесконечности или нулю.

Для данного выражения, вычислим предел числителя и знаменателя отдельно:

Числитель: $n$

Знаменатель: $n + 1$

Теперь возьмем производные числителя и знаменателя по переменной $n$:

Производная числителя: $\frac{d}{dn}(n) = 1$

Производная знаменателя: $\frac{d}{dn}(n + 1) = 1$

Применим правило Лопиталя, подставляя найденные значения:

$\lim_{{n \to \infty}} \left( \frac{n}{n+1} \right)^2 = \lim_{{n \to \infty}} \frac{1}{1} = 1$

Таким образом, предел выражения $\left( \frac{n}{n+1} \right)^2$ при $n$ стремящимся к бесконечности равен 1.