Question

Вопрос тру-математикам. Найти сумму ряда, член которого задан формулой Xn = 1/n (при n, стремящимся к бесконечности). (то есть найти Sn = 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... + 1/n + 1/(n+1) + ...) Ну или вы можете попробовать доказать, что сумма ряда тоже стремится к бесконечности :D Если всё-таки сумма ряда стремится к конечному числу, но вы не можете его найти, то прошу доказательство того, что сумма ряда конечна :D (вопрос не из школьной программы. Просто я погромист, и мне сказали это дело закодить. Но закодить это - минута делов. И я захотел решить сие математически. Но чёт эта хрень ваще не решается((9( ). Идеи есть?

Answer 1

Аще то это гармонический ряд, это имя у него такое. И то что он расходится, то есть его сумма равна бесконечности, знают все математики. И даже программисты тоже.

Так шта, закодить это минута делов, но вот сумму ты не найдешь. Развели тебя, дружок.

Интегральный признак

$\int\limits^{+\infty}_1 {\frac{1}{x} } \, dx =\ln x|_1^{+\infty}=+\infty$

Ряд расходится.

Answer 2

Этот ряд, который вы представили, называется гармоническим рядом, и он известен в математике как расходящийся ряд, то есть сумма его членов стремится к бесконечности. Это доказывается следующим образом:

Мы знаем, что гармонический ряд представляет собой сумму обратных значений натуральных чисел:

S = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...

Для доказательства, что этот ряд расходится, можно воспользоваться интегральным признаком сходимости рядов. Идея заключается в том, чтобы сравнить данный ряд с интегралом функции f(x) = 1/x.

Интеграл функции f(x) от 1 до n равен ln(n), где ln - натуральный логарифм. Таким образом, имеем:

∫(1 to n) (1/x) dx = ln(n)

Теперь сравним интеграл с рядом:

S = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... ∫(1 to ∞) (1/x) dx = ln(∞) = ∞

Мы видим, что интеграл от функции 1/x также расходится. Поскольку гармонический ряд больше или равен интеграла от 1/x (каждый его член больше соответствующего значения функции), то он также расходится.

Таким образом, сумма гармонического ряда не имеет конечного значения и стремится к бесконечности. Это означает, что нет конкретного числа, к которому ряд сходится, и его сумма не может быть найдена.

Также стоит отметить, что кодирование этого ряда может потребовать использование специальных методов обработки бесконечных значений или анализа сходящихся последовательностей, чтобы избежать переполнения или ошибок при выполнении программы.