Question

На координатной плоскости нарисован прямоугольник, вершины которого имеют координаты (34, 0), (41, 0), (34, 9), (41, 9). Найдите наименьшее значение параметра a, при котором прямая y = ax делит этот прямоугольник на две части так, что площадь одной части в два раза больше площади другой. Если ответ не целый, запишите его в виде десятичной дроби.

Answer 1

Ответ на фото с рисунком. Используем здесь интегралы

Answer 2

Чтобы найти наименьшее значение параметра "a", при котором прямая y = ax делит данный прямоугольник на две части с соотношением площадей 1:2, мы можем использовать следующий алгоритм:

1. Найдем координаты точек пересечения прямой y = ax с граничными сторонами прямоугольника.
2. Разделим прямоугольник на две части прямой, которая проходит через точку пересечения из пункта 1.
3. Вычислим площади полученных двух частей и найдем такое значение "a", при котором соотношение площадей будет 1:2.

Шаг 1: Найдем точки пересечения прямой y = ax с граничными сторонами прямоугольника.

Пусть y = 0, тогда получим x = 0, т.е. точка (0, 0) лежит на прямой y = ax. Пусть y = 9, тогда x = 9/a, т.е. точка (9/a, 9) тоже лежит на прямой y = ax.

Шаг 2: Разделим прямоугольник на две части прямой y = ax.

Теперь у нас есть две вертикальные линии, проходящие через точки (0, 0) и (9/a, 9). Одна из линий делит прямоугольник на две части, а другая проходит через точку (34, 0) и (41, 9). Нам нужна та прямая, которая дает соотношение площадей 1:2.

Шаг 3: Вычислим площади полученных двух частей и найдем такое значение "a", при котором соотношение площадей будет 1:2.

Площадь прямоугольника равна (41 - 34) * 9 = 63.

Теперь рассмотрим два прямоугольника, полученных делением прямоугольника и прямой y = ax:

1. Прямоугольник с вершинами (34, 0), (9/a, 9), (34, 9), (9/a, 0). Его площадь равна S1 = (9/a - 34) * 9.

2. Прямоугольник с вершинами (9/a, 9), (41, 9), (9/a, 0), (41, 0). Его площадь равна S2 = (41 - 9/a) * 9.

Так как соотношение площадей должно быть 1:2, то:

S1 : S2 = 1/2 (9/a - 34) * 9 : (41 - 9/a) * 9 = 1/2

Упростим:

(9/a - 34) : (41 - 9/a) = 1/2

Теперь решим уравнение:

18/a - 68 = 41 - 9/a

Переносим все члены на одну сторону:

18/a + 9/a = 41 + 68

27/a = 109

Теперь выразим "a":

a = 27/109 ≈ 0.2477

Таким образом, наименьшее значение параметра "a", при котором прямая y = ax делит данный прямоугольник на две части с соотношением площадей 1:2, составляет приблизительно 0.2477.