Question

Найдите площадь фигуры ограниченной осями координат графиком функции f(x)=x^2+8x+16 и прямой x=-3

Answer 1

$S= \int\limits_{-3}^0 (x^2+8x+16)\, dx= \int\limits^0_{-3} (x+4)^2\, dx=\frac{(x+4)^3}{3}\Big |_{-3}^0=\\\\=\frac{1}{3}\cdot (4^3-1^3)=\frac{63}{3}=21$

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной осями координат, графиком функции f(x) = x^2 + 8x + 16 и прямой x = -3, нужно рассчитать интеграл функции f(x) от x = -3 до x = 0 и от x = 0 до x = -3.

1. Сначала найдем точки пересечения графика функции f(x) с прямой x = -3: x^2 + 8x + 16 = -3 x^2 + 8x + 19 = 0

Дискриминант этого уравнения D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4119 = 64 - 76 = -12. Так как дискриминант отрицателен, уравнение не имеет вещественных корней, следовательно, график функции не пересекает прямую x = -3.

2. Нам известно, что график функции f(x) = x^2 + 8x + 16 является параболой, направленной вверх, и вершина этой параболы находится в точке (-b/2a, f(-b/2a)). В данном случае a = 1, b = 8, поэтому вершина имеет координаты (-8/(21), f(-8/(21))) = (-4, 0).

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x) и осью x, может быть разделена на две части: часть над осью x и часть под осью x.

3. Рассчитаем площадь части над осью x (т. е. между графиком функции и осью x) от x = -3 до x = -4:

S1 = ∫[-3, -4] (x^2 + 8x + 16) dx

Вычислим интеграл: S1 = [x^3/3 + 4x^2 + 16x] [-3, -4] S1 = [( (-4)^3/3 + 4(-4)^2 + 16(-4) ) - ( (-3)^3/3 + 4(-3)^2 + 16(-3) )] S1 = [( -64/3 + 64 - 64 ) - ( -27/3 + 36 - 48 )] S1 = [(-64/3) - (-15)] S1 = (-64/3) + 15 S1 = (15 - 64)/3 S1 = -49/3

4. Рассчитаем площадь части под осью x (т. е. между графиком функции и прямой x = -3) от x = -4 до x = 0:

S2 = ∫[-4, 0] (x^2 + 8x + 16) dx

Вычислим интеграл: S2 = [x^3/3 + 4x^2 + 16x] [-4, 0] S2 = [(0^3/3 + 4(0)^2 + 16(0)) - ((-4)^3/3 + 4(-4)^2 + 16(-4))] S2 = [0 - ((-64/3) + 4*16 - 64)] S2 = [0 - ((-64/3) + 64)] S2 = [0 - (-64/3)] S2 = 64/3

5. Итак, площадь фигуры ограниченной графиком функции f(x) = x^2 + 8x + 16 и прямой x = -3 равна сумме площадей частей над и под осью x:

Площадь = S1 + S2 = (-49/3) + (64/3) = 15/3 = 5

Ответ: Площадь фигуры равна 5 квадратным единицам.