Question

X(y2-4)dx+ydy=0 Знайти диференціальне рівняння

Answer 1

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
$\displaystyle \frac{ydy}{y^2-4}=-xdx$ - уравнение с разделёнными переменными.

Проинтегрируем обе части уравнения, имеем :

$\displaystyle \int \frac{ydy}{y^2-4}=-\int xdx ~~~\Rightarrow~~~ \frac{1}{2}\int \frac{d(y^2-4)}{y^2-4}=-\int xdx\\ \\ \frac{1}{2}\ln|y^2-4|=- \frac{x^2}{2}+C$
Получили общий интеграл (ответ нашего диф. уравнения)

Answer 2

Для пошуку диференціального рівняння спочатку потрібно розпізнати вид вхідного рівняння. Якщо це диференціальне рівняння першого порядку, воно може мати вигляд:

$M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0.$

Ваше рівняння має вигляд:

$x(y^2 - 4)dx + ydy = 0.$

Тут $M(x, y) = x(y^2 - 4)$ та $N(x, y) = y$.

Щоб знайти диференціальне рівняння, спростимо вираз:

$x(y^2 - 4)dx + ydy = 0.$

$x(y^2 - 4)dx = -ydy.$

Тепер знайдемо повний диференціал для лівої та правої частини рівняння:

$d\left(\frac{x}{2}(y^2 - 4)\right) = -yd(y).$

$d\left(\frac{x}{2}(y^2 - 4) + \frac{y^2}{2}\right) = 0.$

Таким чином, диференціальне рівняння має вигляд:

$\frac{x}{2}(y^2 - 4) + \frac{y^2}{2} = C,$

де $C$ - це довільна стала.