Question

Разделение переменных в дифференциальном уравнении e^x lny⁡ dx+xydy=0 приводит его к виду… 1) (e^x dx)/x=-ydy/ln⁡y 2) (e^x dx)/x=-ln⁡ydy/ln⁡y 3) (e^x dx)/x=ydy/ln⁡y 4) (e^x ln⁡ydx)/xy=-dy

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

eˣ·ln y·dx / x + x·y·dy = 0

eˣ·ln y·dx / x =  - x·y·dy                    (1)

Разделим обе части уравнения (1) на (ln y)

eˣ·ln y·dx / ((lny)·x) =  - x·y·dy / (ln y)

eˣ·dx / x =  - x·y·dy / (ln y)                (2)

Теперь обе части равенства (2)   разделим на (x):

eˣ·dx / (x·x) =  - x·y·dy / (x·ln y)    

eˣ·dx / x² =  - y·dy / ln y    (3)

Answer 2

Для разделения переменных в дифференциальном уравнении e^x * ln(y) dx + xy dy = 0, мы можем применить несколько шагов.

Шаг 1: Разделим уравнение на ln(y) и переместим все члены, содержащие dx, на одну сторону уравнения, а члены, содержащие dy, на другую сторону:

(e^x * dx) / x = - (y * dy) / ln(y)

Шаг 2: Перейдем к интегрированию. Для этого мы интегрируем обе стороны уравнения относительно соответствующих переменных:

∫ (e^x * dx) / x = ∫ - (y * dy) / ln(y)

Шаг 3: Выполним интегрирование.

Левая сторона: ∫ (e^x * dx) / x = ln|x| + C1, где C1 - постоянная интегрирования.

Правая сторона: ∫ - (y * dy) / ln(y) = -∫ y / ln(y) dy = -∫ u du, где мы вводим замену переменных u = ln(y).

Проинтегрировав правую сторону, получим: -∫ u du = - (u^2 / 2) + C2, где C2 - постоянная интегрирования.

Шаг 4: Подставим результаты интегрирования обратно в исходное уравнение:

ln|x| + C1 = - (u^2 / 2) + C2

Шаг 5: Объединим постоянные интегрирования C1 и C2 в одну постоянную C:

ln|x| = - (u^2 / 2) + C

Шаг 6: Вернемся к переменной y, используя замену u = ln(y):

ln|x| = - (ln^2(y) / 2) + C

Шаг 7: Убедимся, что x ≠ 0 и y ≠ 1, чтобы избежать деления на ноль.

Ответ: Разделение переменных в дифференциальном уравнении e^x * ln(y) dx + xy dy = 0 приводит его к виду ln|x| = - (ln^2(y) / 2) + C, где C - постоянная.