Question

Помогите плиз дифференциальное уравнение найти общее решение 3e^x*sin*ydx+1(1-e^x)cos*ydy=0

Answer 1

$3e^x*sin(y)dx+(1-e^x)cos(y)dy=0$
$(e^x-1)cos(y)dy=3e^x*sin(y)dx$
$\frac{cos(y)dy}{sin(y)}= \frac{3e^xdx}{e^x-1}$
$\int \frac{d(sin(y))}{sin(y)}=3 \int \frac{e^xdx}{e^x-1}$
$\int \frac{d(sin(y))}{sin(y)}=3 \int \frac{d(e^x-1)}{e^x-1}$
$ln (sin(y))=3ln(e^x-1)+C$
$ln (sin(y))=ln(C(e^x-1)^3)$
$sin(y)=C(e^x-1)^3$
$y=arcsin(C(e^x-1)^3)$

Answer 2

Давайте рассмотрим дифференциальное уравнение:

\[3e^x \sin(y) \,dx + (1 - e^x) \cos(y) \,dy = 0.\]

Чтобы найти общее решение, давайте разделим оба слагаемых на соответствующие коэффициенты:

\[\frac{3e^x \sin(y)}{1 - e^x} \,dx + \cos(y) \,dy = 0.\]

Теперь преобразуем уравнение, чтобы оно выглядело как полный дифференциал. Обратим внимание, что \(\frac{d}{dx}(1 - e^x) = -e^x\), поэтому мы можем умножить и поделить на \(-e^x\):

\[\frac{3 \sin(y)}{e^x - 1} \,dx + \cos(y) \,dy = 0.\]

Теперь давайте воспользуемся методом интегрирующего множителя. Найдем функцию \(\mu(x, y)\), умножив уравнение на \(\mu(x, y)\) так, чтобы оно стало полным дифференциалом:

\[\mu(x, y) \left(\frac{3 \sin(y)}{e^x - 1} \,dx + \cos(y) \,dy\right) = 0.\]

Для этого выберем \(\mu(x, y)\) так, чтобы выполнялось условие:

\[\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{3 \sin(y)}{e^x - 1}\mu\right) = \frac{\partial}{\partial x}(\cos(y)\mu).\]

Рассчитаем производные:

\[\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{3 \sin(y)}{e^x - 1}\mu\right) = \frac{3 \cos(y)}{e^x - 1}\mu + \frac{3 \sin(y)}{e^x - 1}\frac{\partial \mu}{\partial y},\]

\[\frac{\partial}{\partial x}(\cos(y)\mu) = -\sin(y)\mu + \cos(y)\frac{\partial \mu}{\partial x}.\]

Теперь уравнение для \(\mu\) можно записать как:

\[\frac{3 \sin(y)}{e^x - 1}\frac{\partial \mu}{\partial y} - \cos(y)\frac{\partial \mu}{\partial x} = \frac{3 \cos(y)}{e^x - 1}\mu - \sin(y)\mu.\]

Теперь выберем такую функцию \(\mu(x, y)\), чтобы это уравнение выполнялось. Одним из возможных решений является \(\mu(x, y) = \frac{1}{e^x - 1}\). Теперь умножим уравнение на \(\mu\):

\[\frac{3 \sin(y)}{e^x - 1} \,dx + \cos(y) \,dy = 0.\]

Теперь это полный дифференциал:

\[\frac{d}{dx}\left(\frac{3 \sin(y)}{e^x - 1}\right) + \frac{d}{dy}(\cos(y)) = 0.\]

Интегрируем по \(x\):

\[\int \frac{d}{dx}\left(\frac{3 \sin(y)}{e^x - 1}\right) \,dx + \int \frac{d}{dy}(\cos(y)) \,dx = C,\]

где \(C\) - константа интегрирования. Решим оба интеграла:

\[\frac{3 \sin(y)}{e^x - 1} + \sin(y) = C.\]

Теперь у нас есть общее решение дифференциального уравнения:

\[\frac{3 \sin(y)}{e^x - 1} + \sin(y) = C.\]

Это уравнение задает семейство кривых, которые удовлетворяют исходному дифференциальному уравнению.