Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА Определить условные глобальные экстремумы функции F=(x₁-3)²+(x₂-5)² при условиях x₂-2x₁=5

Answer 1

Смотри решение:) 
Глобального максимума нет, есть лишь глобальный минимум.

Answer 2

Для определения условных глобальных экстремумов функции F=(x₁-3)²+(x₂-5)² при условии x₂-2x₁=5, мы можем использовать метод множителей Лагранжа. Этот метод позволяет учитывать ограничения при поиске экстремумов.

Шаги решения:

1. Составим функцию Лагранжа L(x₁, x₂, λ) = F(x₁, x₂) - λ*(x₂ - 2x₁ - 5), где λ - множитель Лагранжа.
2. Найдем частные производные L по x₁, x₂ и λ.
3. Решим систему уравнений, приравнивая производные к нулю.
4. Проверим полученные точки на экстремумы с помощью вторых частных производных.

Давайте выполним эти шаги подробнее:

1. Функция Лагранжа: L(x₁, x₂, λ) = (x₁ - 3)² + (x₂ - 5)² - λ*(x₂ - 2x₁ - 5)

2. Частные производные: ∂L/∂x₁ = 2(x₁ - 3) - 2λ ∂L/∂x₂ = 2(x₂ - 5) - λ ∂L/∂λ = -(x₂ - 2x₁ - 5)

3. Приравняем производные к нулю и решим систему уравнений:

Система уравнений:

1. 2(x₁ - 3) - 2λ = 0
2. 2(x₂ - 5) - λ = 0
3. -(x₂ - 2x₁ - 5) = 0

Из уравнения 1) найдем λ: 2λ = 2(x₁ - 3) λ = x₁ - 3

Из уравнения 2) найдем x₂: 2(x₂ - 5) - (x₁ - 3) = 0 2x₂ - 10 - x₁ + 3 = 0 2x₂ - x₁ - 7 = 0 2x₂ = x₁ + 7 x₂ = (x₁ + 7)/2

Теперь подставим λ и x₂ в уравнение 3): -(x₂ - 2x₁ - 5) = 0 -( (x₁ + 7)/2 - 2x₁ - 5 ) = 0 -(x₁ + 7 - 4x₁ - 10) = 0 -3x₁ - 3 = 0 x₁ = -1

Теперь найдем x₂: x₂ = (x₁ + 7)/2 x₂ = (-1 + 7)/2 x₂ = 3

4. Теперь у нас есть критическая точка (x₁, x₂) = (-1, 3). Чтобы определить, является ли она точкой локального минимума или максимума, нужно проанализировать вторые частные производные функции F по x₁ и x₂ в этой точке.

F(x₁, x₂) = (x₁ - 3)² + (x₂ - 5)²

Вторые частные производные: ∂²F/∂x₁² = 2 ∂²F/∂x₂² = 2

Оба вторых частных производных положительны, что означает, что точка (-1, 3) является точкой локального минимума функции F.

Таким образом, при условии x₂-2x₁=5, функция F=(x₁-3)²+(x₂-5)² имеет условный глобальный минимум в точке (-1, 3).