Question

периметр прямоугольного треугольника равна 390, а длина высоты, перпендикулярной гипотенузе, равна 60. найдите стороны треугольника

Answer 1

Катеты прямоугольного треугольника обозначим  a и b, гипотенузу - с, 
высоту, опущенную на гипотенузу - чере h,  h=60.
a+b+c=390  ,  c=390-a-b ,  a+b=390-c .

S(Δ)=ch/2  ,  S(Δ)=ab/2  ⇒  ch=ab ,  60c=ab  ,  c=ab/60.
c²=a²+b²  ⇒   (390-a-b)²=a²+b²
390²+a²+b²-2*390a-2*390b+2ab=a²+b²  ⇒
390²-780(a+b)+2*60c=0
390²-780*(390-c)+120c=0
152100-304200+780c+120c=0
900c=152100
c=169

Система:
{a+b=390-c=390-169=221,    b=221-a ,
{ab=60c=60*169=10140 ,      a(221-a)=10140 ,  ⇒

a²-221a-10140=0 ,   D=221²+4*10140=8281=91²  ,
a₁=65 ,   a₂=156
b₁=156 , b₂=65

Ответ:  катеты равны 65 и 156, гипотенуза равна 169 .

Answer 2

Чтобы найти стороны прямоугольного треугольника, нам понадобится использовать два факта:

1. Периметр прямоугольного треугольника равен сумме длин его сторон.
2. Высота, опущенная из прямого угла на гипотенузу, делит треугольник на два подобных прямоугольных треугольника.

Пусть стороны прямоугольного треугольника будут обозначены как a, b и c, где a и b - катеты, а c - гипотенуза.

Первый шаг: Найдем гипотенузу c.

Мы знаем, что периметр треугольника равен 390:

a + b + c = 390 ...(1)

Также, у нас есть информация о высоте, перпендикулярной к гипотенузе. Возьмем один из подобных прямоугольных треугольников с высотой h, катетами a и b, и гипотенузой c.

По определению подобных треугольников, отношение высоты к гипотенузе будет одинаково для обоих подобных треугольников:

h/c = a/b

Так как у нас уже есть информация о высоте и её длине:

h = 60

Подставим известные значения и получим уравнение:

60/c = a/b ...(2)

Теперь, нам нужно найти катеты a и b. Для этого, решим систему уравнений (1) и (2). Для начала, выразим b из уравнения (2):

b = (a * c) / 60 ...(3)

Теперь, подставим значение b из уравнения (3) в уравнение (1):

a + (a * c) / 60 + c = 390

Умножим все части уравнения на 60 для избавления от дроби:

60a + ac + 60c = 390 * 60

Теперь, сгруппируем переменные:

a * (60 + c) = 390 * 60 - 60c

a = (390 * 60 - 60c) / (60 + c) ...(4)

Теперь, найдем значение a с помощью уравнения (4), а затем используем уравнение (3) для нахождения b:

1. Найдем a: a = (390 * 60 - 60c) / (60 + c)

2. Найдем b: b = (a * c) / 60

3. Найдем c: c = (390 * 60 - 60a) / (60 + a)

После того, как найдены значения a, b и c, вы можете проверить, является ли треугольник прямоугольным, используя теорему Пифагора:

a^2 + b^2 = c^2