Question

Sin^4 x+cos^2 2x=1 Решите пожалуйста!

Answer 1

Cos2x = 1 - 2sin²x

sin⁴x + 1 - 2sin²x - 1 = 0
sin⁴x - 2sin²x = 0
sin²x(sin²x - 2) = 0
sin²x = 0
sinx = 0
x = πk, k∈Z

sin²x = 2
sinx=√2 - не имеет решения, т.к. -1 ≤ sinx ≤ 1

Ответ: x = πk, k∈Z

Answer 2

Sin^4(x) + cos²(2x) = 1
( cos 2x = cos²x - sin²x )
sin^4(x) + cos^4(x) - sin^4(x) = 1
cos^4(x) = 1
( cos²x = (1+cos2x)/2 )
(1+cos²2x)/2 = 1
Домножим обе части на 2:
1+cos²2x = 2
cos²2x = 1
(1+cos4x)/2 = 1
Домножим обе части на 2:
1+cos4x = 2
cos4x = 1
4x = 0 + 2πn, n∈Z
x = ( 0 + 2πn )/4 , n ∈ Z
x = π*n/2, n ∈ Z
Ответ: (π*n) / 2, n ∈ Z

Answer 3

Давайте решим данное уравнение:

sin^4(x) + cos^2(2x) = 1

Для решения этого уравнения, мы будем использовать тригонометрические тождества. Воспользуемся следующими тождествами:

1. sin^2(x) + cos^2(x) = 1 (тождество Пифагора для синуса и косинуса)
2. cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) (тригонометрическая формула для двойного угла косинуса)

Теперь давайте заменим cos^2(2x) в уравнении с помощью тождества 2:

sin^4(x) + (cos^2(x) - sin^2(x)) = 1

Теперь заменим sin^2(x) на (1 - cos^2(x)) с помощью тождества 1:

(1 - cos^2(x))^2 + (cos^2(x) - (1 - cos^2(x))) = 1

Упростим:

(1 - cos^2(x))^2 + cos^2(x) - 1 + cos^2(x) = 1

(1 - cos^2(x))^2 + 2cos^2(x) - 1 = 1

(1 - cos^2(x))^2 + 2cos^2(x) - 2 = 0

Теперь введем замену: пусть u = cos^2(x). Тогда уравнение примет вид:

(1 - u)^2 + 2u - 2 = 0

Раскроем квадрат с помощью формулы (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2:

1 - 2u + u^2 + 2u - 2 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно u:

u^2 - 2 = 0

Решим его:

u^2 = 2

u = ±√2

Теперь вернемся к исходной переменной cos^2(x):

cos^2(x) = √2 или cos^2(x) = -√2

Но так как косинус не может быть больше 1 или меньше -1, то уравнение не имеет решений в действительных числах. Оно не имеет ответа. Возможно, вы допустили опечатку или ошибку при записи уравнения. Если у вас есть другое уравнение, которое нужно решить, пожалуйста, предоставьте его, и я с удовольствием помогу вам найти решение.