Question

Найти неопределенный интеграл ∫\frac{dx}{\sqrt{25-9x^{2}}}

Answer 1

$\int {\frac{1}{\sqrt{25-9x^2}}} \, dx = \int {\frac{1}{ \sqrt{5^2-(3x)^2} }} \, dx = \\ 3x=t\\ 3dx=dt \\ \int {\frac{dt}{3\sqrt{5^2-t^2}}} = \frac{1}{3} \cdot arcsin(\frac{t}{5})+C = \frac{1}{3} arcsin(\frac{3x}{5})+C$

Answer 2

Для нахождения неопределенного интеграла ∫(1/√(25-9x^2)) dx, мы можем воспользоваться тригонометрической подстановкой. Положим:

x = (5/3)sin(t)

Тогда dx = (5/3)cos(t) dt, и подставим в интеграл:

∫(1/√(25-9x^2)) dx = ∫(1/√(25-9((5/3)sin(t))^2)) * (5/3)cos(t) dt = ∫(1/√(25-25sin^2(t))) * (5/3)cos(t) dt = ∫(1/√(25(1-sin^2(t)))) * (5/3)cos(t) dt = ∫(1/√(25cos^2(t))) * (5/3)cos(t) dt = ∫(1/(5|cos(t)|)) * (5/3)cos(t) dt = ∫(1/|cos(t)|) dt

Теперь рассмотрим два случая:

1. Когда 0 ≤ t ≤ π/2: В этом диапазоне cos(t) > 0, и тогда |cos(t)| = cos(t), поэтому интеграл примет вид: ∫(1/|cos(t)|) dt = ∫(1/cos(t)) dt = ∫sec(t) dt = ln|sec(t) + tan(t)| + C

2. Когда π/2 < t ≤ π: В этом диапазоне cos(t) < 0, и тогда |cos(t)| = -cos(t), поэтому интеграл примет вид: ∫(1/|cos(t)|) dt = ∫(1/(-cos(t))) dt = ∫(-sec(t)) dt = -ln|sec(t) + tan(t)| + C

Где C - постоянная интегрирования.

Теперь, чтобы получить ответ в исходной переменной x, подставим обратную тригонометрическую функцию sin^(-1)(x) вместо t:

∫(1/√(25-9x^2)) dx = ln|sec(sin^(-1)(x)) + tan(sin^(-1)(x))| + C

Здесь мы можем использовать тригонометрическое тождество sec(t) = √(1 + tan^2(t)), чтобы упростить выражение ещё дальше:

√(1 + tan^2(t)) = √(1 + (sin^2(t)/cos^2(t))) = √((cos^2(t) + sin^2(t))/cos^2(t)) = √(1/cos^2(t)) = 1/|cos(t)|

Таким образом, окончательный ответ будет:

∫(1/√(25-9x^2)) dx = ln|1/|cos(sin^(-1)(x))| + tan(sin^(-1)(x))| + C