Question

Решить дифференциальные уравнения: y" - 6y' + 9y = 0 y" = sin4x -2cos2x x × y' = y^2 + 1

Answer 1

Решения вложены на картинках, удачи )

Answer 2

Давайте решим каждое дифференциальное уравнение по очереди:

1. y" - 6y' + 9y = 0

Для этого уравнения характеристическое уравнение будет иметь вид:

r^2 - 6r + 9 = 0

Чтобы найти корни характеристического уравнения, решим его:

(r - 3)^2 = 0

Отсюда имеем двукратный корень r = 3.

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения будет иметь вид:

y(x) = C1 * e^(3x) + C2 * x * e^(3x),

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

2. y" = sin(4x) - 2cos(2x)

Чтобы решить это уравнение, нам нужно найти дважды проинтегрировать исходное уравнение.

Интегрирование первый раз: y' = ∫(sin(4x) - 2cos(2x)) dx

y' = - (1/4) * cos(4x) - (1/2) * sin(2x) + C,

где C - постоянная интегрирования.

Интегрирование второй раз: y = ∫( - (1/4) * cos(4x) - (1/2) * sin(2x) + C) dx

y = -(1/4) * (1/4) * sin(4x) + (1/2) * (1/2) * cos(2x) + Cx + D,

где C и D - новые произвольные постоянные.

3. x * y' = y^2 + 1

Перепишем уравнение в виде:

x * y' = y^2 + 1.

Разделим обе стороны на (y^2 + 1):

(y^2 + 1) * y' = 1.

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения:

∫(y^2 + 1) dy = ∫dx.

∫y^2 dy + ∫1 dy = ∫dx.

(1/3) * y^3 + y = x + C,

где C - произвольная постоянная интегрирования.

Теперь у нас есть общие решения для всех трех дифференциальных уравнений. Они имеют вид:

1. y(x) = C1 * e^(3x) + C2 * x * e^(3x),
2. y(x) = -(1/4) * (1/4) * sin(4x) + (1/2) * (1/2) * cos(2x) + Cx + D,
3. (1/3) * y^3 + y = x + C.

Где C1, C2, C, и D - произвольные постоянные.