Question

Найти вероятность того, что событие А появится в пяти независимых испытаниях не менее трех раз, если в каждом испытании вероятность появления события А равна 0,4.

Answer 1

N=5 независимые испытания, вероятность успеха в одном испытании равна 0,4.

Применим формулу Бернулли

$\displaystyle P_5\{k \geq 3\}=C^3_5p^3(1-p)^2+C^4_5p^4(1-p)+C^5_5p^5(1-p)^0=\\ \\ =10\cdot 0.4^3\cdot 0.6^2+5\cdot 0.4^4\cdot 0.6+0.4^5=0,311296$

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть несколько независимых испытаний с двумя возможными исходами: событие А произойдет или не произойдет. Вероятность появления события А в каждом испытании равна 0,4.

Формула для вероятности того, что событие А произойдет ровно k раз в n независимых испытаниях при вероятности появления события А p, записывается как:

P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)

где:

• C(n, k) - количество сочетаний из n по k (т.е. число способов выбрать k элементов из n).
• p - вероятность появления события А в одном испытании (в данном случае 0,4).
• k - количество раз, которое событие А должно произойти (в данном случае не менее трех раз).
• n - общее количество испытаний (в данном случае 5).

Для нашей задачи, нам нужно найти вероятность того, что событие А произойдет три раза, четыре раза или пять раз в пяти испытаниях. Таким образом, вероятность события А появится не менее трех раз:

P(X>=3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)

где:

• P(X=3) - вероятность того, что событие А произойдет три раза в пяти испытаниях.
• P(X=4) - вероятность того, что событие А произойдет четыре раза в пяти испытаниях.
• P(X=5) - вероятность того, что событие А произойдет пять раз в пяти испытаниях.

Теперь вычислим вероятности для каждого случая:

P(X=k) = C(5, k) * 0.4^k * (1-0.4)^(5-k)

P(X=3) = C(5, 3) * 0.4^3 * (1-0.4)^(5-3) = 10 * 0.064 * 0.36 = 0.2304

P(X=4) = C(5, 4) * 0.4^4 * (1-0.4)^(5-4) = 5 * 0.0256 * 0.6 = 0.0768

P(X=5) = C(5, 5) * 0.4^5 * (1-0.4)^(5-5) = 1 * 0.01024 * 1 = 0.01024

Теперь сложим эти вероятности, чтобы найти общую вероятность P(X>=3):

P(X>=3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = 0.2304 + 0.0768 + 0.01024 = 0.31744

Таким образом, вероятность того, что событие А появится в пяти независимых испытаниях не менее трех раз, составляет приблизительно 0,3174 или около 31,74%.