Question

Найти площадь, ограниченную линию x=5-x^2

Answer 1

Находим точки пересечения функций: y = x -1, y = 5 - x^2:
x - 1 = 5 - x^2
x^2 + x - 6 = 0
D = 25
x1 = - 3
x2 = 2
Ограниченная площадь находится между x1 и x2. Интегрируем разность двух функций от x1 до x2 и получаем: S = 125/6

Answer 2

Для нахождения площади, ограниченной кривой x = 5 - x^2, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите точки пересечения кривой с осями координат.
2. Определите интервал интегрирования для переменной x.
3. Найдите выражение для функции y(x).
4. Затем используйте определенный интеграл для вычисления площади под кривой.

Давайте по порядку выполним каждый шаг:

1. Найдем точки пересечения кривой с осями координат:

Когда x = 0: y = 5 - 0^2 = 5 Точка пересечения: (0, 5)

Когда y = 0: 0 = 5 - x^2 x^2 = 5 x = ±√5 ≈ ±2.236 Точки пересечения: (√5, 0) и (-√5, 0)

2. Определите интервал интегрирования для переменной x:

Мы знаем, что кривая симметрична относительно вертикальной линии x = 0. Кроме того, она ограничена между двумя вертикальными линиями x = √5 и x = -√5. Таким образом, интервал интегрирования будет от -√5 до √5.

3. Найдите выражение для функции y(x):

Мы уже знаем, что x = 5 - x^2, теперь найдем y(x): y = 5 - x^2

4. Вычислите площадь под кривой с помощью определенного интеграла:

Площадь S будет равна интегралу от y(x) по интервалу [-√5, √5]: S = ∫[from -√5 to √5] (5 - x^2) dx

Давайте вычислим интеграл: S = [5x - (x^3)/3] [from -√5 to √5]

S = [(5 * √5 - (√5)^3)/3] - [(5 * -√5 - (-√5)^3)/3] S = [(5 * √5 - 5√5)/3] - [(-5 * √5 + 5√5)/3] S = (0)/3 S = 0

Итак, площадь, ограниченная кривой x = 5 - x^2, равна 0.