Question

Найти площадь фигуры ограниченной y=x^2+4x+6 , y=x+6

Answer 1

Ответ : 4,5 квадратных единиц

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = x^2 + 4x + 6 и y = x + 6, сначала необходимо определить точки их пересечения. После этого мы сможем вычислить площадь между ними.

1. Найдем точки пересечения:

Поскольку обе функции заданы как y, приравняем их друг другу:

x^2 + 4x + 6 = x + 6

Теперь приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:

x^2 + 3x = 0

Вынесем x за скобку:

x(x + 3) = 0

Таким образом, у нас два корня:

1. x = 0
2. x + 3 = 0, откуда x = -3

Теперь найдем соответствующие значения y для каждой из этих точек, подставив x в одно из уравнений:

1. x = 0: y = 0^2 + 4*0 + 6 = 6
2. x = -3: y = (-3)^2 + 4*(-3) + 6 = 9 - 12 + 6 = 3

Таким образом, точки пересечения графиков функций - (0, 6) и (-3, 3).

2. Теперь найдем площадь между кривыми на интервале от x = -3 до x = 0. Это можно сделать с помощью определенного интеграла:

Площадь = ∫(от -3 до 0) (y_1 - y_2) dx, где y_1 - это уравнение квадратной функции, а y_2 - уравнение прямой.

Подставим значения y:

Площадь = ∫(от -3 до 0) ((x^2 + 4x + 6) - (x + 6)) dx

Теперь проинтегрируем:

Площадь = ∫(от -3 до 0) (x^2 + 4x - x + 6 - 6) dx Площадь = ∫(от -3 до 0) (x^2 + 3x) dx

Теперь проинтегрируем по очереди каждый член:

∫(x^2 + 3x) dx = (x^3/3) + (3x^2/2) + C

Теперь найдем определенный интеграл для интервала от -3 до 0:

Площадь = [(0^3/3) + (30^2/2)] - [((-3)^3/3) + (3(-3)^2/2)] Площадь = 0 + 0 - [(-27/3) + (27/2)] Площадь = 0 - [(-9) + (13.5)] Площадь = 0 - 3.5 Площадь = -3.5

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = x^2 + 4x + 6 и y = x + 6, равна 3.5 квадратных единиц. Обратите внимание, что значение площади отрицательное, так как функция y = x^2 + 4x + 6 на интервале [-3, 0] находится ниже функции y = x + 6. Отрицательное значение площади говорит о том, что фигура находится ниже оси x.