Question

Найти экстремумы функции z=1/x+1/y+x+4y

Answer 1

1. Найдем частные производные.
1 - 1/х^2
4 - 1/y^2

2. Решим систему уравнений.
1/х^2=0
1/y^2=0
Получим:
а) Из первого уравнения выражаем x и подставляем во второе уравнение:
x1 = -1

x2 = 1

Откуда y1 = -1/2; y2 = 1/2; y3 = -1/2; y4 = 1/2

Answer 2

Для нахождения экстремумов функции z = 1/x + 1/y + x + 4y, нужно вычислить её частные производные по переменным x и y, приравнять их к нулю и решить систему уравнений.

Шаг 1: Вычисление частных производных

Частная производная по x (записывается как ∂z/∂x): ∂z/∂x = ∂(1/x)/∂x + ∂(x)/∂x = -1/x^2 + 1.

Частная производная по y (записывается как ∂z/∂y): ∂z/∂y = ∂(1/y)/∂y + ∂(4y)/∂y = -1/y^2 + 4.

Шаг 2: Приравнивание частных производных к нулю и решение системы уравнений

1. Приравняем ∂z/∂x к нулю: -1/x^2 + 1 = 0 -1/x^2 = -1 x^2 = 1 x = ±1

2. Приравняем ∂z/∂y к нулю: -1/y^2 + 4 = 0 -1/y^2 = -4 y^2 = 1/4 y = ±1/2

Таким образом, у нас есть четыре критические точки: (1, 1/2), (1, -1/2), (-1, 1/2) и (-1, -1/2).

Шаг 3: Проверка типов экстремумов

Для определения типа экстремумов воспользуемся вторыми частными производными. Найдем их и применим критерий Сильвестра для анализа знаков.

Частные производные второго порядка:

∂^2z/∂x^2 = ∂(-1/x^2 + 1)/∂x = 2/x^3, ∂^2z/∂y^2 = ∂(-1/y^2 + 4)/∂y = 2/y^3.

∂^2z/∂x∂y = ∂(-1/x^2 + 1)/∂y = 0, ∂^2z/∂y∂x = ∂(-1/y^2 + 4)/∂x = 0.

Теперь рассмотрим значения в критических точках:

1. (x, y) = (1, 1/2): ∂^2z/∂x^2 = 2/(1)^3 = 2, ∂^2z/∂y^2 = 2/(1/2)^3 = 16, ∂^2z/∂x∂y = 0, ∂^2z/∂y∂x = 0.

2. (x, y) = (1, -1/2): ∂^2z/∂x^2 = 2/(1)^3 = 2, ∂^2z/∂y^2 = 2/(-1/2)^3 = -16, ∂^2z/∂x∂y = 0, ∂^2z/∂y∂x = 0.

3. (x, y) = (-1, 1/2): ∂^2z/∂x^2 = 2/(-1)^3 = -2, ∂^2z/∂y^2 = 2/(1/2)^3 = 16, ∂^2z/∂x∂y = 0, ∂^2z/∂y∂x = 0.

4. (x, y) = (-1, -1/2): ∂^2z/∂x^2 = 2/(-1)^3 = -2, ∂^2z/∂y^2 = 2/(-1/2)^3 = -16, ∂^2z/∂x∂y = 0, ∂^2z/∂y∂x = 0.

Шаг 4: Анализ типов экстремумов

Для точки (1, 1/2):

• ∂^2z/∂x^2 > 0 (2 > 0) - локальный минимум по x.
• ∂^2z/∂y^2 > 0 (16 > 0) - локальный минимум по y.

Для точки (1, -1/2):

• ∂^2z/∂x^2 > 0 (2 > 0) - локальный минимум по x.
• ∂^2z/∂y^2 < 0 (-16 < 0) - локальный максимум по y.

Для точки (-1, 1/2):

• ∂^2z/∂x^2 < 0 (-2 < 0) - локальный максимум по x.
• ∂^2z/∂y^2 > 0 (16 > 0) - локальный минимум по y.

Для точки (-1, -1/2):

• ∂^2z/∂x^2 < 0 (-2 < 0) - локальный максимум по x.
• ∂^2z/∂y^2 < 0 (-16 < 0) - локальный максимум по y.

Итак, получили четыре локальных экстремума:

1. Локальный минимум по x и y в точке (1, 1/2).
2. Локальный минимум по x и локальный максимум по y в точке (1, -1/2).
3. Локальный максимум по x и локальный минимум по y в точке (-1, 1/2).
4. Локальный максимум по x и y в точке (-1, -1/2).