Question

Существует ли два последовательных натуральных числа,сумма цифр каждого из которых делится на 1018

Answer 1

Запишем первое число в виде abc...yz9...9, z ≠ 9, девяток в конце может быть β = 0, 1, 2, ...
Тогда второе число имеет вид abc...y(z+1)0...0.

Рассмотрим, на сколько изменилась сумма цифр.
– Сумма цифр первого числа: a + b + c + ... + y + z + 9β
– Сумма цифр второго числа: a + b + c + ... + y + (z + 1)
– Разность сумм цифр равна 9β - 1.

Если обе суммы цифр делятся на 1018, то их разность 9β - 1 тоже делится на 1018, что выполняется, например, для β = 905, при этом 9β - 1 = 8144 = 8 * 1018. Подобрав должным образом abc...yz, можно добиться, чтобы суммы цифр делились на 1018.

Пример двух таких чисел: 
99...99099...9 (в начале 113 девяток, в конце 905 девяток, сумма цифр 9 * (113 + 905) = 9 * 1018) и 99...9100...0 (сумма цифр 9 * 113 + 1 = 1018)

Ответ. Существуют.

Answer 2

Да, существуют два последовательных натуральных числа, сумма цифр каждого из которых делится на 1018. Для этого достаточно рассмотреть два числа, в которых одно состоит из многократных девяток (например, 999...999), а следующее число получается из предыдущего добавлением единицы (т.е. 1000...000).

Например: 99999 (сумма цифр равна 9+9+9+9+9 = 45, что делится на 1018) и 100000 (сумма цифр равна 1+0+0+0+0+0 = 1, что также делится на 1018).

Таким образом, сумма цифр обоих чисел делится на 1018, и эти числа являются последовательными натуральными числами.