Question

Мяч бросают в корзину до первого промаха, но число бросков не более пяти. Составьте ряд распределения числа бросков, если вероятность попадания мяча в корзину при каждом броске равна 0,4. Вычислите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Answer 1

Решение в приложении.

Answer 2

Для составления ряда распределения числа бросков, будем рассматривать вероятности для каждого возможного числа попаданий (от 0 до 5).

Пусть событие Аi обозначает попадание мяча в корзину при i-ом броске, тогда вероятность попадания P(Ai) = 0.4, и вероятность промаха P(Ai') = 1 - P(Ai) = 1 - 0.4 = 0.6.

Ряд распределения числа бросков:

1. P(0 попаданий) = P(A0') = 0.6 * 0.6 * 0.6 * 0.6 * 0.6 = 0.6^5 ≈ 0.07776
2. P(1 попадание) = P(A0' ∩ A1) = 0.6^4 * 0.4 = 0.6^4 * 0.4 ≈ 0.07776
3. P(2 попадания) = P(A0' ∩ A1' ∩ A2) = 0.6^3 * 0.4^2 = 0.6^3 * 0.4^2 ≈ 0.0384
4. P(3 попадания) = P(A0' ∩ A1' ∩ A2' ∩ A3) = 0.6^2 * 0.4^3 = 0.6^2 * 0.4^3 ≈ 0.01536
5. P(4 попадания) = P(A0' ∩ A1' ∩ A2' ∩ A3' ∩ A4) = 0.6 * 0.4^4 = 0.6 * 0.4^4 ≈ 0.00384
6. P(5 попаданий) = P(A0' ∩ A1' ∩ A2' ∩ A3' ∩ A4' ∩ A5) = 0.4^5 = 0.4^5 ≈ 0.00064

Теперь вычислим математическое ожидание (среднее), дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Математическое ожидание E(X) вычисляется по формуле: E(X) = Σ (xi * P(xi))

где xi - значение случайной величины (число бросков), P(xi) - вероятность этого значения.

E(X) = 0 * 0.07776 + 1 * 0.07776 + 2 * 0.0384 + 3 * 0.01536 + 4 * 0.00384 + 5 * 0.00064 E(X) = 0 + 0.07776 + 0.0768 + 0.04608 + 0.01536 + 0.0032 E(X) = 0.2192

Дисперсия Var(X) вычисляется по формуле: Var(X) = Σ [(xi - E(X))^2 * P(xi)]

Var(X) = (0 - 0.2192)^2 * 0.07776 + (1 - 0.2192)^2 * 0.07776 + (2 - 0.2192)^2 * 0.0384 + (3 - 0.2192)^2 * 0.01536 + (4 - 0.2192)^2 * 0.00384 + (5 - 0.2192)^2 * 0.00064 Var(X) = 0.0434

Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) SD(X) вычисляется как корень из дисперсии: SD(X) = √Var(X) SD(X) = √0.0434 ≈ 0.2084

Таким образом, ряд распределения числа бросков будет следующим: 0 попаданий - P(X=0) ≈ 0.07776 1 попадание - P(X=1) ≈ 0.07776 2 попадания - P(X=2) ≈ 0.0384 3 попадания - P(X=3) ≈ 0.01536 4 попадания - P(X=4) ≈ 0.00384 5 попаданий - P(X=5) ≈ 0.00064

Математическое ожидание (среднее) E(X) ≈ 0.2192 Дисперсия Var(X) ≈ 0.0434 Среднее квадратическое отклонение SD(X) ≈ 0.2084